NOIP 提高组初赛 · NOIP 2016 提高组初赛试题 第 4 题

与二进制小数 $0.1$ 相等的八进制数是（ ）。

这题考二进制小数转八进制，核心就是利用'三位二进制对应一位八进制'的规律，或者先转十进制再乘8取整，别被小数点后的位数迷惑。

学生最容易犯的错是以为二进制小数0.1直接对应八进制0.1，或者在分组时数错位数，把0.1当成0.1000...去凑三位，结果算成0.100=0.4却误选A或D。还有人是先转十进制0.5，然后0.5×8=4，但忘记小数点位置，写成了4.0而不是0.4。

这道题考查的是二进制小数到八进制数的转换，属于进制与编码的基础内容。在历年NOIP、GESP等竞赛中，这类题目虽不常作为大题出现，但作为单选题反复考察，旨在检验学生对不同进制间权值关系的理解深度。

二进制和八进制之间有个非常巧妙的联系：因为8是2的3次方（2³=8），所以在二进制小数中，每三位一组正好对应八进制的一位。转换时，我们从小数点后第一位开始，每三位取出一组，然后查表或按权展开即可。对于本题中的0.1₂，小数点后只有一位1，为了凑成三位，我们在后面补两个0，变成0.100₂。现在分组就是0.100，按权展开计算：1×2⁻¹ + 0×2⁻² + 0×2⁻³ = 1/2 = 0.5₁₀。而八进制数0.4₈按权展开是4×8⁻¹ = 4/8 = 0.5₁₀，两者完全相等，所以答案就是0.4₈，选B。

另一种思路是先转十进制再转八进制。0.1₂ = 1×2⁻¹ = 0.5₁₀，然后0.5×8 = 4，因为4小于8，所以整数部分是0，小数部分就是4，得到0.4₈。两种方法结果一致，验证了答案的正确性。

命题人喜欢在这里挖坑，比如故意给一个只有一位或两位的二进制小数，让学生误以为可以直接照搬，或者在分组时数错位数，把0.1当成0.1000...去凑三位，结果算成0.100=0.4却误选A或D。还有人是先转十进制0.5，然后0.5×8=4，但忘记小数点位置，写成了4.0而不是0.4。这些错误都源于对二进制小数分组规则的不熟悉。

从考频来看，进制与编码在题库中已考过149题，覆盖11个考试级别，逐年分布中2023年17题、2024年29题、2025年17题、2026年17题，显示出该知识点在近年考试中热度上升。分赛事中，GESP三级39题、NOIP普及组初赛27题、NOIP提高组初赛22题，说明这一考点在各类别中均有高频出现。基于此趋势，未来考试中二进制与八进制、十六进制的转换仍将是必考内容，尤其会倾向于考查小数部分的转换，以区分学生对权值关系的真正掌握程度。

因此，拿到这类题，先别急着算，心里默念'三位一组'，补零凑齐，按权展开，就能稳稳拿下正确答案。