NOIP 普及组初赛 · NOIP 2007 普及组初赛试题 第 19 题

$(2070)_{16} + (34)_8 $ 的结果是（  ）。

拿到这种混合进制题，别慌着直接加，第一步必须把两边都统一成十进制。十六进制转十进制按权展开，八进制同理，算出十进制数值后相加，最后再回头去验证哪个选项等于这个和，这是最稳妥的路径。

最容易栽跟头的地方是进制转换时的粗心。比如十六进制里的 A 代表 10，算权重时别把 16 的幂次搞错，尤其是 16 的三次方是 4096 这个数要记牢。八进制数字只含 0-7，看到 34 别当成十进制的 34 去算，它其实是 3×8+4=28。还有验证选项时，像 B 选项 (208A)16 和 D 选项 (20212)8 转出来都是 8330，非常接近正确答案 8332，这时候必须精确计算每一位的乘积再相加，差一点就会选错。

这道题考查的是不同进制数的转换与混合运算，属于计算机基础里信息表示的核心内容。命题人喜欢在这种单选题里挖坑，就是利用进制转换的易错点和数值上的巧合来迷惑考生。做这类题，拿到手先别急着动笔算大数，脑子里要有一个清晰的流程：先把所有数统一成十进制，因为十进制是我们最熟悉的，加减乘除都直接，不容易出错。算完十进制结果后，再反过来把每个选项转成十进制去比对，这样就能稳稳抓住正确答案。

首先看八进制的那个数 (34)8。八进制的数码只有 0 到 7，这里的 3 和 4 都是合法的。按权展开法，3 在 8 的一次方位，4 在 8 的零次方位。计算就是 3×8 + 4×1 = 24 + 4 = 28。这一步很简单，但一定要确认是 28 而不是 34，这是第一个常见的陷阱。

接着看十六进制的 (2070)16。十六进制的数码是 0-9 和 A-F，这里全是数字，没问题。同样按权展开，从右往左数，最右边是 0（16 的 0 次方），然后是 7（16 的 1 次方），接着是 0（16 的 2 次方），最左边是 2（16 的 3 次方）。我们需要记住几个关键的幂次：16 的 1 次方是 16，16 的 2 次方是 256，16 的 3 次方是 4096。代入计算：2×4096 + 0×256 + 7×16 + 0×1。这里有个细节，7 乘 16 等于 112，不要算成 70 或者其他数。加起来就是 8192 + 0 + 112 + 0 = 8304。

现在两边都统一成十进制了，一个是 8304，一个是 28。直接相加：8304 + 28 = 8332。这就是我们算出来的最终结果。

题目给了四个选项，我们必须逐一验证，看看哪个等于 8332。选项 A 直接就是 (8332)10，显然匹配。但为了严谨，我们还得看看其他选项是不是有什么陷阱。选项 B 是 (208A)16，这里出现了 A，代表 10。按权展开：2×4096 + 0×256 + 8×16 + 10×1 = 8192 + 0 + 128 + 10 = 8330。哎呀，8330 和 8332 就差 2，非常接近，这就是命题人设的坑，粗心的人可能会误选。选项 C 是二进制 (100000000110)2，数一下位数，最高位是第 11 位（从 0 开始数），也就是 2 的 10 次方。2 的 10 次方是 1024，再往后看，后面还有两个 1，分别在倒数第三和倒数第二位，也就是 2 的 2 次方和 2 的 1 次方。加起来是 1024 + 4 + 2 = 1030，远小于 8332，直接排除。选项 D 是八进制 (20212)8，按权展开：2×4096 + 0×512 + 2×64 + 1×8 + 2×1 = 8192 + 0 + 128 + 8 + 2 = 8330。又是 8330，和 B 一样，再次确认不能选。

综上所述，只有选项 A 的数值完全吻合。这道题虽然计算量不算特别大，但考察的是对进制转换规则的熟练程度和细心程度。十六进制的 A 代表 10，八进制的数码范围，以及 16 的三次方等于 4096 这种基础幂次，都是必须烂熟于心的。在考试中，遇到这种混合进制题，一定要养成先统一再计算，最后再回代验证的习惯，这样才能避开那些数值相近的干扰项，稳稳拿到分数。