NOIP 提高组初赛 · NOIP 2007 提高组初赛试题 第 13 题

$(2070)_{16} + (34)_8 $ 的结果是（ ）。

别急着加，先转十进制。十六进制和八进制转十进制是基本功，算出和8332后，再回头把每个选项转十进制一对比，ABD自然就是答案。

最容易栽的坑是C选项，很多人看到一堆0和两个1就以为是对的，其实二进制的权值是按2的幂次排的，(100000000110)₂等于2051，离8332差了老远；另外转十六进制时别把C当成12以外的数，D选项里八进制的20214算出来正好也是8332，这个结果容易让人误以为它是错的，其实多进制表示同一数值完全正常。

这道题考的是多进制数制转换与加法，核心就是把不同进制的数统一成十进制再比较。十六进制和八进制转十进制就是按位权展开：十六进制每位权是16的幂，八进制每位权是8的幂，二进制每位权是2的幂。命题人爱考这种“先转后加再反推”的组合，因为学生容易在转进制时算错权值，或者在验证选项时把某个进制当成十进制直接比大小，从而漏选或多选。拿到题先想：先把两个加数转成十进制，(2070)₁₆ = 2×16³ + 7×16 = 8192 + 112 = 8304；(34)₈ = 3×8 + 4 = 28，加起来是8332。接下来逐项验证：A选项(8332)₁₀显然对；B选项(208C)₁₆ = 2×16³ + 8×16 + 12 = 8192 + 128 + 12 = 8332，正确；C选项(100000000110)₂ = 2¹⁰ + 2⁸ + 2⁶ = 1024 + 256 + 64 = 1344？不对，仔细按位算：从右往左第1位是0，第2位是1(2¹=2)，第3位是1(2²=4)，第4-9位都是0，第10位是1(2⁹=512)？等等，重新数：100000000110共12位，最右是0，次右是1(2¹=2)，再右是1(2²=4)，然后8个0，最左是1(2¹⁰=1024)，所以总和是1024+256+64=1344？不对，实际(100000000110)₂ = 2¹⁰ + 2⁸ + 2⁶ = 1024 + 256 + 64 = 1344，明显不是8332，所以C错；D选项(20214)₈ = 2×8⁴ + 2×8² + 1×8 + 4 = 2×4096 + 2×64 + 8 + 4 = 8192 + 128 + 12 = 8332，正确。因此正确答案是A、B、D。考频方面，进制与编码在题库里共考了149题，覆盖从2007到2026年的11个级别，其中2023年突然飙到17题，2024年更是达到29题，说明这两年命题人明显加大了进制转换的考查力度，尤其是多进制混合运算。基于这个趋势，未来几年（2025-2026）进制题大概率还会保持高位，甚至可能继续增加，特别是涉及十六进制、八进制与二进制互换的题目会更频繁出现。暂无足够依据预测是否会引入更复杂的进制转换场景，但就当前数据看，这类题型仍是初赛常客。避坑提醒：转进制时一定要严格按位权算，别把十六进制的C当成12以外的数，也别把二进制的长串0误判为正确，验证选项时最好把每个选项都转成十进制再和结果比，这样最稳妥。