NOIP 提高组初赛 · NOIP 2007 提高组初赛试题 第 8 题

与十进制数 $17.5625$ 对应的 $8$ 进制数是（ ）。

这题考进制转换，核心就两步：整数除8取余逆序，小数乘8取整顺读。别被小数位数吓住，拆开算，整数17转八进制是21，小数0.5625乘8两次刚好整干净，结果就是21.44，选B。

最容易栽跟头的就是小数部分，很多人看到0.5625后面跟着的5和2，下意识觉得八进制里也有5和2，或者直接把十进制的小数位抄过来，结果选了A这种看着眼熟但完全不对的选项。还有的同学只算了整数部分，小数部分随便凑个数，或者把乘8得到的4.5直接当成5来写，忘了取整。记住，小数转八进制是乘8后只取整数部分，剩下的继续乘，直到余数为0，这道题刚好两步就整干净了，千万别多此一举算到后面。

这道题考查的是进制转换，具体是十进制小数转八进制。别看它给了个带小数的数，其实就是个基础操作，命题人就是喜欢在这种基础题里挖小数处理的坑。知识点很简单：整数部分用“除8取余，逆序排列”，小数部分用“乘8取整，顺序排列”。拿到这种题，第一反应应该是先把整数和小数拆开处理，千万别想着直接拼十进制的小数位，那是大忌。整数17转八进制，17除以8商2余1，再把商2除以8商0余2，从下往上读就是21，所以整数部分没问题。小数0.5625才是重灾区，很多人会误以为0.5625在八进制里还是0.5625，或者看到5就选带5的选项，其实八进制只有0-7，5是合法的，但位置不对。正确的做法是乘8：0.5625乘8等于4.5，取整得4，剩下0.5；0.5再乘8等于4.0，取整得4，剩下0。小数部分就是0.44。拼起来就是21.44，对应选项B。这里有个细节，0.5乘8正好是4.0，说明小数部分已经整干净了，不需要再算，如果学生多算一步或者把4.5当成5来写，就会出错。命题人爱考这种刚好能整除的数，就是为了测试你是否真的理解取整规则，而不是机械记忆。从考频看，进制与编码这章在NOIP初赛里非常高频，2023年突然飙到17题，2024年更是29题，虽然2025、2026年回落一点，但整体热度没降，说明这类基础题依然是必考项，而且越来越喜欢结合小数或编码细节来挖坑。预测的话，既然2023-2024年考得这么猛，未来几年大概率还会出类似的进制转换题，特别是会涉及小数部分或者混合进制（比如十六进制转二进制）的变形，但纯十进制转八进制这种基础题不会消失，反而可能以更隐蔽的方式出现，比如给个看起来很复杂的十进制小数，让你判断它转八进制后小数部分是不是有限位。总之，解题心法就是：拆整数小数、整数除取余逆读、小数乘取整顺读、算完检查是否整干净，别被选项里的数字迷惑。这道题正确答案就是B，21.44，其他选项要么小数位抄错了，要么多算了，要么完全没按规则来。