NOIP 提高组初赛 · NOIP 2013 提高组初赛试题 第 2 题

二进制数 $11.01$ 在十进制下是（ ）。

这题就是考二进制转十进制，别慌，按权展开法最稳：整数位从右往左是2的0次方、1次方……小数位从点开始是2的负1次方、负2次方……把每位数字乘上它对应的权重，加起来就是答案。

最容易栽跟头的地方有两个：一是小数点后的权重记反了，把第一位当成0.5、第二位当成0.25，结果算出来是3.25，但很多人会下意识把二进制小数当成十进制小数去读，或者把权重搞混，比如把小数部分直接当成0.1和0.01，那就错了；二是计算时粗心，比如把1×2⁻²算成0.5而不是0.25，或者加法时把2+1+0.25算成3.25却误选成其他选项。其实这道题数字很简单，只要记住二进制小数第一位权重是0.5、第二位是0.25，就不会错。

这道题考查的是二进制数与十进制数之间的转换，属于进制与编码的基础内容。在信息学竞赛的初赛里，这类题目几乎每年必出，而且通常不会太复杂，就是让你把一个二进制数直接转成十进制。命题人往往喜欢用这种小题来测试你对基本概念是否真的理解透彻，而不是死记硬背。比如这道题，二进制数11.01，看起来挺短，但如果你不熟练，很容易在计算时出错，或者把二进制小数当成十进制小数来处理，那就全错了。

首先，我们要明白二进制数的按权展开原理。二进制数每一位的权重是2的幂次，整数部分从右往左依次是2^0、2^1、2^2……，而小数部分从点开始依次是2^-1、2^-2、2^-3……。也就是说，小数点后的第一位权重是0.5，第二位是0.25，第三位是0.125，依此类推。这个规律非常重要，也是很多学生容易混淆的地方。比如，二进制数0.1₂，其实等于十进制的0.5，而不是0.1；二进制数0.01₂等于0.25，而不是0.01。所以，当看到二进制小数时，千万别用十进制的读法去套，一定要按权重来算。

现在我们来一步步计算11.01₂的十进制值。整数部分是11₂，按权展开就是1×2^1 + 1×2^0 = 2 + 1 = 3。小数部分是01₂，按权展开就是0×2^-1 + 1×2^-2 = 0 + 0.25 = 0.25。把整数和小数加起来，3 + 0.25 = 3.25。所以，11.01₂在十进制下就是3.25，对应选项A。

这里再提醒一下常见的错误点。有些同学可能会把小数部分的权重记反，比如把第一位当成0.25、第二位当成0.5，这样算出来就是0.75，再加上整数部分3，得到3.75，显然不对。还有的同学会把二进制小数直接当成十进制小数，比如看到01₂就以为是0.1，那就更离谱了。其实，只要记住二进制小数第一位是0.5、第二位是0.25，就不会犯这种低级错误。另外，计算时也要小心，比如1×2^-2等于0.25，不是0.5，这个很容易手滑算错。

从历年考试数据来看，进制与编码这个知识点在题库中一共出现过149次，覆盖从2007年到2026年的所有考试级别，其中2023年、2024年、2025年和2026年都考了17题以上，说明这个考点非常活跃，而且出题人越来越喜欢把它放在选择题里，作为基础知识的快速检测。GESP三级、NOIP普及组初赛、NOIP提高组初赛、CSP入门级等各个级别都有大量题目涉及，尤其是GESP三级考了39题，占比最高，说明在入门阶段就要熟练掌握进制转换。

未来预测方面，基于当前考频趋势，进制与编码类题目在2024-2026年继续保持高热度，尤其是选择题中这类基础转换题几乎不会缺席。可以合理推测，2027年及以后，命题人可能会继续用这种小题来测试基本概念，但难度可能略有提升，比如出现更复杂的进制转换（如八进制、十六进制）或者结合其他知识点（如位运算、编码规则）的综合题。不过，只要掌握了按权展开法，这类题目就不会成为拦路虎。

总之，这道题虽然简单，但背后考查的是二进制转十进制的基本原理，尤其是小数部分的权重记忆。平时练习时，多记住几个常见二进制小数的十进制值（如0.1₂=0.5，0.01₂=0.25，0.001₂=0.125），考试时就能快速准确地作答。记住，千万别把二进制小数当成十进制小数去读，这是最容易踩的坑。