CSP-S 提高级 · CSP 2023 提高级第一轮 第 14 题

若 $n=\sum_{i=0}^k {16^i\cdot x_i}$，定义 $f(n)=\sum_{i=0}^k {x_i}$，其中 $x_i\in\{0,1,\cdots,15\}$。对于给定自然数 $n_0$，存在序列 $n_0,n_1,n_2,\cdots,n_m$，其中对于 $1 \le i \le m$ 都有 $n_i=f(n_{i-1})$，且 $n_m=n_{m-1}$，称 $n_m$ 为 $n_0$ 关于 $f$ 的不动点。问在 $100_{16}$ 到 $1A0_{16}$ 中，关于 $f$ 的不动点为 $9$ 的自然数个数为（）。

题意理解： n = Σ(16^i × x_i)，即 n 的十六进制表示为 ...x₃x₂x₁x₀ f(n) = Σx_i，即 n 的各位数字之和（十六进制）

定义迭代：n₀ → n₁=f(n₀) → n₂=f(n₁) → ... 直到不动点（n_m = n_{m-1}）

要求：在 [100₁₆, 1A0₁₆] 范围内，不动点为 9 的自然数有多少个。

注意： 十六进制各位数字之和，最终收敛到的"不动点"就是数位和。对于任何正整数，反复求十六进制数位和，最终会收敛到一个 ≤ 15 的数（因为最大一位十六进制数 F=15）。

题目问的是：在范围内哪些数经过反复求十六进制数位和后收敛到 9。

范围 [100₁₆, 1A0₁₆] 即十进制 [256, 416]

逐一检查或利用规律：不动点为 9 → 这个数本身数位和最终为 9。

经过计算，该范围内有 11 个这样的数。

最大难点： 理解题目在说什么。"不动点"就是反复求数位和最终收敛到的那个一位数。对十六进制，每个数反复求数位和，最终会收敛到 0~15 之间的一个数。

另一个难点：范围 [100₁₆, 1A0₁₆] 是十六进制表示，要正确转换为十进制理解大小。

考察知识点： 数论 — 进制与数位和

题目解密：

题面看起来很复杂，其实核心很简单：

• n 的十六进制表示如 ABC，f(n) = A+B+C
• 不断对结果重复 f，最终会得到一个一位数（0~15），称为"不动点"
• 这相当于十进制中的"数根"（digital root），只是这里是十六进制版本

十六进制数位和举例：

• n = 0xFF = 255₁₀，f(n)=15+15=30₁₀=1E₁₆，f(1E)=1+14=15=F₁₆，f(F)=15=F₁₆ → 不动点 F
• n = 0x100 = 256₁₀，f(100)=1+0+0=1 → 不动点 1

解题： 范围 [100₁₆, 1A0₁₆]

• 0x100 = 256₁₀
• 0x1A0 = 416₁₀
• 共 417-256 = 161 个数

要求这些数中，通过反复求十六进制数位和最终收敛到 9 的个数。

经过分析计数，答案为 11（选项 B）。

技巧： 遇到"不动点"这类题，先用小数字手动模拟几步理解迭代过程，弄清"不动点"实际就是"数位和的收敛值"。