CSP-J 入门级 · CSP 2021 入门级第一轮 第 7 题

二进制数 $101.11$ 对应的十进制数是（ ）。

这题就是考二进制小数转十进制，别被小数点后面那串数字绕晕。拿到题先别急着算，心里默念：整数部分按 2 的幂次加，小数部分从紧挨着小数点的第一位开始，权值依次是 1/2、1/4、1/8……把位上的数字乘对应权值再求和，最后看哪个选项对上。

最容易栽跟头的地方有两处：一是整数部分算错位权，比如把中间的 0 当成 2 或者把最后的 1 当成 4，导致整数部分算成 6 或 7；二是小数部分搞混顺序，把第一位（0.5）和第三位（0.125）的位置弄反，或者以为小数点后第二位权值是 1/8 而不是 1/4。还有学生会把二进制小数直接当成十进制看，以为 101.11 就是五百一十一又十一分之……这种直觉陷阱在初赛里很常见。

考察知识点：进制与编码 — 二进制小数转十进制

概念定义：二进制数每一位的权重由它离小数点的距离决定。整数部分从左到右依次是 2²、2¹、2⁰……；小数部分则从紧挨着小数点的第一位开始，权重依次是 2⁻¹（即 0.5）、2⁻²（即 0.25）、2⁻³（即 0.125）……记住这个规律，任何二进制小数都能拆成几项分数相加。

逐步推导：题目给的数是 101.11₂。我们把它拆开： 整数部分：1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 4 + 0 + 1 = 5 小数部分：第一位是 1，对应 2⁻¹ = 0.5；第二位也是 1，对应 2⁻² = 0.25。所以小数部分加起来是 0.5 + 0.25 = 0.75。 把整数和小数拼起来：5 + 0.75 = 5.75。

命题视角：命题人喜欢在整数部分埋个 0 来迷惑人，让你下意识觉得中间那位权重最大；同时小数部分给两个连续的 1，如果你小数位权记反了，很容易算成 5.625 或 5.875 这种“看着像但不对”的数，正好对应干扰项 D 和 A。这道题就是专门挖这个坑的。

避坑提醒：千万别把二进制小数当成十进制小数去读，也别在小数部分把 2⁻¹ 和 2⁻² 的位置搞混。算完整数部分后，再单独算小数部分，最后相加，这样不容易出错。

考频与趋势：从题库统计看，“进制与编码”是高频考点，共出现过 149 题，覆盖 11 个考试级别。按年份分布，2023 年突然暴增到 17 题，2024 年更是飙升到 29 题，2025、2026 年都保持在 17 题的高位，说明这类基础概念题在近年持续受热。分赛事来看，GESP 三级考了 39 题，NOIP 普及组初赛考了 27 题，CSP 入门级考了 11 题，GESP 六级、五级、四级也都各有 8~11 题。可见从入门到提高，进制转换都是必考内容，尤其是小数部分，在 CSP 入门级和 GESP 低级别中经常出现。

预测：基于数据，进制转换（含小数）在未来两三年内仍将是 CSP 入门级和 GESP 三至六级的稳定考点，命题形式大概率延续“整数 + 小数”的混合写法，可能还会加入更长的二进制串或带前缀的十六进制/八进制转换，但核心思路不变：按位权拆分、逐项求和。暂无足够依据预测是否会突然转向其他进制或算法题，但基础概念题的权重在近年有上升趋势，值得持续重视。