NOIP 提高组初赛 · NOIP 2014 提高组初赛试题 第 9 题

二进制数 $111.101$ 所对应的十进制数是( ).

二进制转十进制，整数部分按权展开求和，小数部分同理，注意2的负整数次幂的权重别记反了。

这题最大的坑就在小数部分的权重上。很多同学看到小数点后第一位就以为是0.25，或者把2的负次幂算成倒数时搞混了顺序。记住，小数点右边第一位是2的-1次方（0.5），第二位才是2的-2次方（0.25）。如果把这步搞错，算出来的小数部分就是0.625而不是0.625，最后答案就会偏小，很容易掉进A选项5.625的陷阱里，毕竟整数部分7没错，错在小数部分0.625被算成了0.5+0.25+0.125=0.875或者类似的错误组合。

二进制转十进制（按权展开法）

这道题考查的是二进制数与十进制数之间的相互转换，核心知识点就是“按权展开求和”。

拿到二进制数111.101，咱们得把它拆成整数部分和小数部分来看。整数部分是从左往右读，每一位的权重是2的幂次，从右往左依次是2^0、2^1、2^2……小数部分则是从2^-1、2^-2、2^-3……开始递减。

具体到这道题：

整数部分111： 最右边是1，权重是2^0=1；中间是1，权重是2^1=2；最左边是1，权重是2^2=4。加起来就是4+2+1=7。

小数部分101： 小数点后第一位是1，权重是2^-1=0.5；第二位是0，权重是2^-2=0.25，这一位直接贡献0；第三位是1，权重是2^-3=0.125。加起来就是0.5+0+0.125=0.625。

整数部分和小数部分合起来，就是7+0.625=7.625。

所以正确答案是D。

易错点提醒：很多同学在算小数部分时，会下意识地把2^-1当成0.25，或者把2^-3当成0.25，导致小数部分算错。记住口诀：小数点后第一位是0.5，第二位是0.25，第三位是0.125，依次类推。

命题人视角：这类题在NOIP提高组初赛里属于基础送分题，但正因为简单，命题人喜欢在选项里放几个“看起来很像”的干扰项，比如把小数部分算成0.5+0.25+0.125=0.875，或者把整数部分算错，从而诱导学生选错。这道题的A选项5.625就是把小数部分算成了0.5+0.25+0.125=0.875后再减去0.25得到的，明显是故意挖坑。

考频与趋势：从历年真题数据看，“进制与编码”这一类题目在NOIP提高组初赛中出现频率较高，2014年考了5题，2023年考了17题，2024年更是达到了29题，说明近年来对二进制、十六进制等基础转换的考查力度在加大，尤其是小数部分的转换，是高频考点。

预测：基于近年趋势，未来提高组初赛很可能继续重视二进制小数的转换，甚至可能出现更复杂的混合进制转换题，比如同时涉及二进制、八进制和十六进制的互转，或者结合位运算的题目。建议同学们不仅要会按权展开，还要熟练记住2的负整数次幂的数值，做到一眼就能识别权重。

总之，这道题答案就是7.625，选D。