NOIP 提高组初赛 · NOIP 2014 提高组初赛试题 第 20 题

下列各无符号十进制整数中，能用八位二进制表示的数有（ ）。

这题核心就是算8位无符号数的上限。别急着转二进制，先记住0到255这个范围，把选项往里一扔，大于255的立马排除，剩下的就是答案。

最容易栽跟头的就是C选项256。很多同学看到256立马想到2的8次方，觉得好像只差一位就能凑齐8个1，于是误以为它能在8位里表示。其实8位全1才是255，256得用9位（100000000）才能装得下。另外A选项296，有些同学会下意识想把它拆成256加40，以为高位溢出后低位还能凑个数，忽略无符号数一旦超过255就直接越界了，必须严格按范围判。

这道题考的是进位制中无符号整数的表示范围，属于基础但极易被数字迷惑的考点。命题人特别喜欢用256、296这种刚好在边界或略超边界的数来挖坑，看学生是不是真的理解了8位二进制到底能装多大的数，而不是死记硬背某个公式。拿到这种题，正确的思考心法是：先锁定8位无符号整数的最大值是多少，然后逐个比对选项，大于这个值的直接淘汰，小于等于的保留。这样逻辑清晰，不易出错。8位二进制无符号整数的范围，从最小的00000000（即十进制0）到最大的11111111。怎么算最大值？8个1加起来就是2的8次方减1，也就是255。记住这个255是硬门槛，任何超过它的数，8位二进制都装不下。现在看选项：A是296，明显比255大，排除；B是133，在0到255之间，没问题；C是256，这里要小心，256等于2的8次方，二进制写成1后面跟8个0，那得9位才能表示，所以它超出了8位范围，排除；D是199，也在范围内，保留。所以答案就是BD。避坑方面，除了上面说的256那个经典陷阱，还要注意296这种数，有些同学可能会想把它拆成256加40，误以为高位溢出后低位还能凑个数，其实无符号数一旦超过255就直接越界了，必须严格按范围判。从考频趋势看，进制与编码这个知识点在NOIP和各类竞赛中非常稳定，近五年数据尤其突出：2023年17题、2024年29题、2025年17题、2026年17题，说明命题人越来越喜欢在这个基础概念上出多选或易错单选，考察学生是否真正理解位宽限制。因此，这类题未来大概率还会以‘边界数’的形式出现，比如255、256、511、512这种组合，或者把范围稍微扩大一点考9位、10位的上限，总之核心还是‘位宽决定范围，范围决定能否表示’。预测的话，基于2024年高达29题的考频和近年持续高位的数据，未来几年这个考点仍将是高频重点，可能会结合其他基础概念（如补码、ASCII码、十六进制转换）进行综合考查，但8位无符号范围这个基石不会变。