NOIP 提高组初赛 · NOIP 2012 提高组初赛试题 第 18 题

十进制下的无限循环小数（不包括循环节内的数字均为 $0$ 或均为 $9$ 的平凡情况），在二进制下有可能是（ ）。

别急着转进制，先想清楚：十进制无限循环小数本质是有理数，分母里肯定藏着除了2以外的质因子。二进制能不能把非2的因子‘消化’掉？消化不掉，那就只能无限循环。抓住这个分母因子的核心，答案自然浮现。

很多学生看到'无限循环'就下意识觉得转进制后还是无限循环，却忘了有理数在任何进制下都是循环小数这个铁律。更常见的坑是混淆有限小数和循环小数的分母条件：只有分母是2的幂才能变成二进制有限小数。如果分母里还有3、5、7这些因子，二进制下必然无限循环。还有人会误以为十进制循环小数转二进制可能变成整数或无限不循环，其实整数和无限不循环都是无理数或有限小数的特征，有理数绝不可能变成它们。

进制转换与循环小数

考点与概念

这道题考查的是进制转换中循环小数的性质，核心在于理解：一个有理数在任何进制下，要么是有限小数，要么是无限循环小数；而它能否成为有限小数，完全取决于分母的质因数。