NOIP 提高组初赛 · NOIP 2011 提高组初赛试题 第 13 题

一个正整数在十六进制下有 $100$ 位，则它在二进制下可能有（ ）位。

别死记'1位十六进制=4位二进制'，这道题考的是'正整数最高位不能为0'这个细节。拿到题先想：100位十六进制数的最高位最小能是多少？最大能是多少？

很多学生会直接乘4得出400，或者只想到最高位是1（对应二进制1位），却忽略了十六进制最高位可以是2到F（对应2到4位二进制）。特别是选项399，学生往往凭直觉觉得'不可能'，其实只要最高位是2（二进制10），后面99位各占4位，加起来正好399，这就是命题人挖的坑。

这道题考查进制转换中的位数估算，核心是理解十六进制每一位对应二进制4位，但首位不能为0。命题人喜欢在'正整数'这个条件上设坑，让学生忽略首位最小值。思考时先确定100位十六进制数的范围：最小是1后面跟99个0（十六进制），即16^99；最大是99个F，即16^100-1。二进制位数等于floor(log2(N))+1。当N=16^99时，log2(N)=396，二进制位数=397；当N接近16^100时，二进制位数=400。所以可能取397到400。但选项只有399和400，因此选AB。易错点在于只考虑最高位为1或F，漏掉2~F的情况。比如最高位为2（二进制10），后面99位各占4位，总数=2+99×4=399，完全合法。考频上，进制与编码是NOIP初赛高频考点，2023-2026年连续多年考17题以上，说明命题人越来越喜欢考细节和边界情况。预测未来仍会侧重这种'看似简单实则陷阱'的进制转换题，尤其是涉及首位约束或跨进制估算的题目。