NOIP 提高组初赛 · NOIP 2011 提高组初赛试题 第 1 题

在二进制下，$1011001 +$ （ ）= $1100110$。

这题本质是二进制减法，拿到题先别急着按位减，想清楚‘补数’或‘借位’两种思路，直接算 X = 1100110 - 1011001 最稳妥，算完再验算加法是否回原数。

学生最容易在借位时出错，比如把低位借给高位后忘记把高位减 1，或者把 10 当成 2 来借（十进制习惯），导致算出 1010 或 1111；还有人会误以为二进制减法可以像十进制那样‘逢十进一’，结果把 1011001 当成 1011001 十进制去减，得到错误答案。

考点与概念

本题考查二进制下的算术运算，核心是理解二进制减法的借位规则：当某一位不够减时，向高位借 1，相当于借 2（因为二进制权重是 2 的幂）。这与十进制借 10 类似，但基数不同，容易混淆。

命题视角

命题人喜欢用‘已知和与一个加数，求另一个加数’的形式考进制运算，因为这样既考察了进位/借位规则，又避免了直接加法可能出现的进位链过长导致学生慌乱。他们常故意把正确答案藏在看似复杂的借位过程中，比如本题中 1011001 和 1100110 的前几位相同，容易让人误以为差很小，从而忽略低位借位带来的连锁反应。

思考心法

拿到题先别慌，把等式写清楚：1011001 + X = 1100110，那么 X = 1100110 - 1011001。接下来按位从右往左减，记住借位规则：

• 第 0 位：0 - 1 不够，向第 1 位借 1，第 0 位变成 2 - 1 = 1，第 1 位减 1 后变成 0 - 0 = 0；
• 第 1 位：0 - 0 = 0；
• 第 2 位：1 - 0 = 1；
• 第 3 位：0 - 1 不够，向第 4 位借 1，第 3 位变成 2 - 1 = 1，第 4 位减 1 后变成 0 - 0 = 0；
• 第 4 位：0 - 0 = 0；
• 第 5 位：1 - 1 = 0；
• 第 6 位：1 - 1 = 0。

这样逐位算下来，差就是 1101。

验证

把 1101 加回原数：1011001 + 1101 = 1100110，完全吻合，说明计算无误。

易错点提醒

1. 借位规则混淆：很多人会下意识用十进制借 10 的习惯，把二进制借位当成借 10，导致算出 1010 或 1111 这类错误答案。 2. 借位后忘记减 1：高位借出 1 后，该位要减 1，但学生常忘记这一步，导致后续位计算错误。 3. 从高位往低位减：减法必须从低位开始，否则借位逻辑会乱套。

考频与趋势

从题库数据看，‘进制与编码’这一大类共考过 149 题，覆盖 11 个考试级别（2007-2026）。历年分布非常活跃：2007 年 4 题、2008 年 4 题、2009 年 5 题、2010 年 6 题、2011 年 6 题、2012 年 2 题、2013 年 4 题、2014 年 5 题、2015 年 5 题、2016 年 2 题、2017 年 3 题、2018 年 3 题、2019 年 2 题、2020 年 4 题、2021 年 4 题、2022 年 3 题、2023 年 17 题、2024 年 29 题、2025 年 17 题、2026 年 17 题、null 年 7 题。分赛事来看，GESP 三级考了 39 题，NOIP 普及组初赛 27 题，NOIP 提高组初赛 22 题，CSP 入门级 11 题，GESP 六级、五级、四级各 8-11 题不等，CSP 提高级 8 题，GESP 八级、二级各 5 题，GESP 七级 2 题。

预测

2023-2026 年该知识点考频明显上升，尤其是 2024 年单年 29 题，说明命题人正在加大进制运算的考查力度，可能从单纯的加减法扩展到乘除、位运算混合，或者结合数据结构（如二进制字符串处理）出题。鉴于目前数据仅到 2026 年，暂无足够依据预测未来几年具体题型，但建议考生重点复习二进制加减法借位规则，并适当练习位运算题目，以防考向深化。