NOIP 提高组初赛 · NOIP 2010 提高组初赛试题 第 5 题

如果在某个进制下等式 7*7=41 成立，那么在该进制下等式 12*12=（ ）也成立。

这题核心是进制转换。先别急着套公式，想想'41'在未知进制下代表什么——它其实是'4个单位位 + 1个低位'，也就是4b+1。把7×7=49代入这个式子，瞬间就能解出进制b=12。拿到b之后，再算12×12=144，最后把十进制的144转回12进制，答案自然浮现。

很多学生一见到'144'就慌，直接选B，以为题目问的是十进制数值。其实题干明确说'在该进制下'，所以必须把144（十进制）转成12进制。还有人容易把'41'理解成'4和1'两个独立数字，忘记它是4×b+1的位值原理。更隐蔽的坑是算出b=12后，用12×12=144直接当答案，或者在转进制时除法余数算错，导致得到像164或196这种干扰项。

考点与概念：本题考查进制的位值原理——在b进制中，数字'41'表示4×b+1。同时要掌握如何将十进制数转换为任意进制（不断除以b取余，逆序排列）。命题人常在这里挖坑：利用简单的乘法等式反推进制，再让学生做进制转换，考察对位值概念的理解深度。

解题思路： 1. 设进制为b。已知7×7=41在该进制下成立。 2. 将41按位值展开：4×b + 1。 3. 左边7×7=49（十进制），因此有方程：4b + 1 = 49。 4. 解方程得：4b = 48 → b = 12。所以该进制是12进制。

计算12×12在该进制下的表示： 1. 先算十进制结果：12×12 = 144（十进制）。 2. 将144转换为12进制： - 144 ÷ 12 = 12 余 0 - 12 ÷ 12 = 1 余 0 - 1 ÷ 12 = 0 余 1 逆序排列余数：1 0 0，即100(12)。

避坑指南：

• 选项A（100）是十进制的100，不是12进制的100；选项C（164）和D（196）分别是12进制下144和196的误写，或者把144当成十进制直接选了B。记住：题目问的是'该进制下的表示'，不是十进制数值。
• 验证：100(12) = 1×12² + 0×12 + 0 = 144（十进制），与12×12吻合。

考频与趋势：进制转换在信息学竞赛中属于高频考点。题库共考过149题，覆盖11个级别，从2007年到2026年每年都有涉及，其中2023-2026年考频显著上升（2023年17题、2024年29题、2025年17题、2026年17题），说明命题人越来越喜欢用进制作为计算题的'包装'，考察学生在复杂背景下的基本运算能力。

预测：基于近年考频激增的趋势，未来几年进制转换类题目仍将是初赛和GESP考试的常客，可能会结合更多进制（如8进制、16进制）或混合进制运算，但核心仍是位值原理和除法取余。暂无足够依据预测具体年份的题型变化，但建议学生务必熟练掌握任意进制间的转换方法。