NOIP 提高组初赛 · NOIP 2008 提高组初赛试题 第 15 题

$(2008)_{10} + (5B)_{16}$ 的结果是（ ）。

这题核心就是进制转换与加法。拿到题别慌，先把十六进制的 5B 掰开揉碎算成十进制，再跟 2008 加一块儿，最后把结果往四个选项里一扔，看哪个进制表示对得上号。

最容易栽跟头的就是十六进制里的字母 B，很多学生下意识当成 10 或者 8，算出来 5×16+10=90 就全错了。还有算完十进制结果 2099 后，急着选 B 就完事了，忘了题目是多选，得把 A、C、D 三个选项的进制表示也验一遍，不然 D 那个二进制看着跟十进制有点像，容易误判。

考点与概念

这道题考的是进制转换和数值计算。十六进制里，A=10，B=11，C=12，D=13，E=14，F=15，这是必须刻在脑子里的。八进制则是 0-7。二进制就是 0 和 1。

命题人怎么挖坑

命题人特别喜欢考这种"混合进制"的题目：给你一个十进制数，加一个十六进制数，然后让你从四个不同进制的选项里挑正确的。坑点通常有两个：一是十六进制的字母识别错误（比如把 B 当成 10），二是算完十进制结果后，只选了十进制选项 B，忽略了其他进制表示正确的选项（比如 A 和 C）。学生往往做完加法就以为结束了，忘了验证。

思考心法与计算过程

拿到题，第一步肯定是把十六进制的 (5B)₁₆ 转换成十进制。 (5B)₁₆ = 5×16¹ + 11×16⁰ = 80 + 11 = 91。

第二步，做加法。 2008 + 91 = 2099。

现在手里有了十进制结果 2099，接下来就是"扫雷"：把四个选项全部转换成十进制，看哪个跟 2099 对得上。

• 选项 A：(833)₁₆

= 8×16² + 3×16¹ + 3×16⁰ = 8×256 + 48 + 3 = 2048 + 51 = 2099。✅ 正确。

• 选项 B：(2099)₁₀

这就是我们算出来的结果。✅ 正确。

• 选项 C：(4063)₈

= 4×8³ + 0×8² + 6×8¹ + 3×8⁰ = 4×512 + 0 + 48 + 3 = 2048 + 51 = 2099。✅ 正确。

• 选项 D：(100001100011)₂

按位展开： = 1×2¹¹ + 1×2⁹ + 1×2⁸ + 1×2⁶ + 1×2⁴ + 1×2³ + 1×2¹ + 1×2⁰ = 2048 + 512 + 256 + 64 + 16 + 8 + 2 + 1 = 2907。 2907 ≠ 2099。❌ 错误。

避坑提醒

注意，选项 D 的二进制数看起来很长，很容易让人产生"位数多所以数值大"的错觉，但实际计算下来是 2907，明显不对。另外，一定要确认题目是不是多选，NOIP 初赛里这种"结果可能是多个进制表示"的情况很常见，只选 B 就丢分了。

考频与趋势

进制与编码是信息学竞赛的"老面孔"，题库里一共考过 149 题，覆盖 11 个考试级别。从历年数据看，2023 年突然爆发式增长到 17 题，2024 年更是飙到 29 题，2025 年和 2026 年也分别考了 17 题和 17 题。这说明近三年来，命题人对进制转换、二进制运算、十六进制/八进制混合运算的考查力度明显加大，不再是偶尔出现的"送分题"，而是高频考点。

预测

基于 2023-2026 年连续高发的数据（2023:17, 2024:29, 2025:17, 2026:17），可以合理预测未来几年进制相关题目仍会保持较高频率，尤其是混合进制转换和二进制位运算类题目。学生必须熟练掌握各类进制间的快速转换技巧。

最终答案

经过逐一验证，选项 A、B、C 的十进制值均为 2099，而选项 D 为 2907。因此正确答案是 A、B、C。