GESP 八级 · GESP 202512 C++ 八级 第 20 题

在杨辉三角形中，第 $ n $ 行（从 0 开始计数，即第 $ n $ 行有 $ n + 1 $ 个数）的所有数字之和等于 $ 2^n $。

排列组合问题：先判断是否考虑顺序（排列P vs 组合C），再确定是否允许重复。乘法原理分步，加法原理分类。

审题时注意题目要求（选正确还是选错误），避免因审题不清失分。涉及代码的题目要逐行分析变量变化。

【考点】组合数学：杨辉三角行和性质｜二项式系数求和｜数学归纳法

命题人放这道题是卡住大量考生"只背结论、不证真伪"的死穴——八级组合模块里满篇都是杨辉三角，但多数考生盯着"第 n 行有 n+1 个数"的个数特征，却对"行和"这个核心性质毫无敏感度。

解题思维很简单：杨辉三角第 n 行所有数之和确实是 2^n，这是组合数学中的经典结论，对应二项式展开 (1+1)^n 的系数和。用归纳法验证：n=0 时和为 1=2^0；假设第 k 行和为 2^k，则第 k+1 行每个数等于上一行相邻两数之和，总和自然翻倍为 2^{k+1}。

陷阱在于命题的"绝对化"表述——它没限定条件，却直接断言"所有"行都满足。若考生误记成"奇数行和为 2^n"或"前 n 行和为 2^n"，就会掉进陷阱选 B。

反命题思维：若把结论改成"第 n 行和为 2^{n-1}"或"前 n 行和为 2^n"，答案都变错。刷到此类题时，先问自己"命题人想考我哪个边界条件"，就能避开绝对化表述的坑。