CSP-S 提高级 · CSP 2024 提高级第一轮 第 13 题

对于一个整数 $n$，定义 $f(n)$ 为 $n$ 的各位数字之和，问使 $f(f(x))=10$ 的最小自然数 $x$ 是多少？

这题别急着代入选项算，先顺着 f(f(x))=10 倒推：外层 f 把内层值压成 10，内层最小能取到 19，再找各位和为 19 的最小数，位数越少越好，两位数顶多 18，所以至少三位，百位取最小 1 即可。

最容易把 f(f(x)) 当成一次求和，直接去凑 f(x)=10 的数，结果全错；或者只盯着选项算，没意识到要优先保证位数最少、高位最小；还有人会误以为 199 的 f 值是 19 但忘记验证 f(19) 是否等于 10，导致漏掉嵌套关系。

考点与概念

本题考的是数论基础里的“各位数字之和”函数 f(n)，以及函数嵌套的逆向思考。f(n) 就是把 n 的十进制各位相加，比如 f(199)=1+9+9=19。

命题视角

命题人爱玩“倒推”：给最终结果，让你找最小原数。这里 f(f(x))=10，意味着先算一次 f(x) 得到一个中间值 y，再算 f(y)=10。要 x 最小，得让 y 最小，再让 x 的位数最少、高位最小。

思考心法

1. 先解 f(y)=10。满足条件的 y 有 19,28,37,46,55,64,73,82,91,109 等，最小的显然是 19（两位数比三位数小）。所以 y=19。 2. 再解 f(x)=19。要让 x 最小，先看位数：两位数最大和是 9+9=18<19，不够；三位数最小和为 1+9+9=19，刚好。所以 x 必须是三位数，百位取最小 1，剩下两位凑 18，自然就是 9,9。 3. 于是候选最小 x=199。

计算验证

f(199)=1+9+9=19，f(19)=1+9=10，f(f(199))=10，完全符合。

避坑指南

• 别只代入选项算：A 项 29→f(29)=11→f(11)=2≠10；C 项 299→f(299)=20→f(20)=2；D 项 399→f(399)=21→f(21)=3。都错在没先确定中间值 y 的最小性。
• 别忽略位数约束：以为 19 能拆成两位数？不行，9+9=18<19，必须三位数。
• 别把嵌套想反：是先内后外，不是先外后内。

考频与趋势

“各位数字之和”在题库共考过 36 题，覆盖 2020-2026 年，其中 2026 年爆发性考了 13 题，2024 年 1 题，2020 年 1 题，还有 21 题年份数据缺失。分赛事看，CSP 入门级占了 29 题，提高级仅 7 题；函数与映射专题里，提高级只考了 1 题（2024 年），NOIP 提高组初赛 1 题。说明该知识点在入门级高频，提高级相对低频，但 2026 年数据异常高，可能暗示命题组在提高级开始加大数论/函数嵌套的考查力度。

预测

基于 2026 年 13 题的激增和入门级的高占比，未来提高级在“数位和、数字根、函数嵌套”这类计算型题目上大概率会延续甚至加码，尤其是结合模运算或进制转换的复合型小题。暂无足够依据预测具体年份分布，但建议把“先倒推中间值、再最小化位数与高位”的思维刻进肌肉记忆。