CSP-S 提高级 · CSP 2020 提高级第一轮 第 11 题

小明想通过走楼梯来锻炼身体，假设从第 $1$ 层走到第 $2$ 层消耗 $10$ 卡热量，接着从第 $2$ 层走到第 $3$ 层消耗 $20$ 卡热量，再从第 $3$ 层走到第 $4$ 层消耗 $30$ 卡热量，依此类推，从第 $k$ 层走到第 $k+1$ 层消耗 $10k$ 卡热量 $(k>1)$？如果小明想从 $1$ 层开始，通过连续向上爬楼梯消耗 $1000$ 卡热量，至少要爬到第几层楼？ （ ）。

这题核心是把爬楼消耗看成等差数列求和，建立总消耗公式后解不等式，注意楼层数与段数差1，直接代选项验算最快。

最容易错在把1到n层的消耗算成10×(1+2+...+n)，多算了一段；或者解出n≈14.66后直接取整成14，忘了题目问的是‘至少爬到第几层’，必须向上取整到15。

考点与概念

本题考查等差数列求和与二次不等式求解。从第k层到第k+1层消耗10k卡，爬到第n层共走了n-1段，总消耗为10×(1+2+...+(n-1))。利用公式1+2+...+m = m(m+1)/2，可得总消耗 T(n) = 5n(n-1)。

命题视角

命题人喜欢用‘至少’这种词，既考计算又考逻辑判断。这里的关键陷阱是：解不等式得到的根是14.66，学生容易机械四舍五入成14，但14层不够1000卡，必须进位到15。