CSP-S 提高级 · CSP 2019 提高级第一轮 第 14 题

有一个等比数列，共有奇数项，其中第一项和最后一项分别是 $2$ 和 $118098$，中间一项是 $486$,请问以下哪个数是可能的公比？（）

这题考等比数列通项公式和质因数分解。拿到题先别急着套公式，盯着中间项和首项的比值，算出公比的k次方是多少，再结合末项验证一致性，最后看哪个选项能凑出这个幂次。

最容易栽跟头的地方是分不清中间项到底是公比的几次方。很多学生看到中间项486和首项2，直接以为公比就是486除以2等于243，这是错的，那是r的k次方。还有人会忽略题目特意强调的“奇数项”这个条件，导致列方程时中间项的下标写错，进而算出完全不对的k值。另外，分解质因数时粗心把243当成2的幂或者5的幂，也会直接选错答案。

这道题考什么

这题核心就是考等比数列的通项公式以及简单数论里的质因数分解。命题人喜欢在这种单选题里挖“概念陷阱”，就是让你把中间项误当成公比本身，或者忽略“奇数项”这个关键条件导致下标列错。

概念与公式

等比数列从第二项起，每一项除以前一项都等于同一个常数，这个常数叫公比 $r$。通项公式是 $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$。

题目有个特殊条件：共有奇数项。设总项数为 $2k+1$，那中间项就是第 $k+1$ 项。因为首项是第1项，中间项比首项多了 $k$ 个公比，所以中间项 $a_{k+1} = a_1 \cdot r^k$；同理，末项比中间项又多了 $k$ 个公比，所以末项 $a_{2k+1} = a_{k+1} \cdot r^k = a_1 \cdot r^{2k}$。

拿到题怎么想

1. 先把已知数字代入公式，算出 $r^k$ 是多少。 - 首项 $a_1 = 2$，中间项 $a_{k+1} = 486$。 - 所以 $r^k = 486 \div 2 = 243$。 2. 再用末项验证一下这个 $r^k$ 对不对。 - 末项 $a_{2k+1} = 118098$。 - 按公式应该是 $a_1 \cdot (r^k)^2 = 2 \cdot 243^2 = 2 \cdot 59049 = 118098$，完全吻合，说明我们的 $r^k = 243$ 没算错。 3. 现在问题简化成：哪个选项里的数，它的某个整数次幂等于 $243$？ - 也就是找 $r$ 使得 $r^k = 243$ 有正整数解 $k$。

具体计算与选项排查

$243$ 是个很特殊的数，它是 $3$ 的幂：$3^5 = 243$。所以如果 $r = 3$，取 $k = 5$ 就能满足条件。

我们快速过一遍选项：

• A. 5：$5^k$ 永远以 $5$ 结尾，不可能等于 $243$（以 $3$ 结尾），排除。
• B. 3：$3^5 = 243$，完美匹配，保留。
• C. 4：$4^k$ 是偶数，$243$ 是奇数，排除。
• D. 2：$2^k$ 也是偶数，排除。

只有 B. 3 能凑出 $243$，所以公比只能是 $3$。

避坑提醒

• 千万别把中间项 $486$ 除以首项 $2$ 得到的 $243$ 当成公比，那是 $r^k$，不是 $r$。题目问的是公比，选项里只有 $3$ 能作为底数。
• 一定要用到“奇数项”这个条件。如果是偶数项，中间项的定义就不存在了，题目里的“中间一项”就无从谈起，方程也会列错。
• 验证时别只算一步，把末项代入 $a_1 \cdot (r^k)^2$ 再核对一遍，这样能确保 $k$ 是整数且整个数列长度确实是奇数。

考频与趋势

从题库数据看，简单数论（含幂运算、质因数分解）共考过 4 题，覆盖 4 个考试级别，每年都有出现：2013 年 1 题、2019 年 1 题、2021 年 1 题、2026 年 1 题，分布非常均匀。其中 CSP 提高级就考过 1 题（就是这道）。数列基础共考过 5 题，覆盖 2 个级别，2010 年 2 题、2019 年 1 题、2020 年 1 题、2024 年 1 题，CSP 提高级占了 3 题。

结合这两类考点的考频，可以判断：等比数列结合质因数分解是 CSP 提高级近年来的高频考点，命题人偏爱用“中间项 + 首末项”这种对称条件来考察学生对幂次关系的敏感度。

预测

基于现有数据，虽然每年都有数论题，但具体到“等比数列 + 质因数分解”的组合，暂无足够依据预测未来会怎么考（比如会不会改成更复杂的递推或模运算）。不过可以合理推测，这类题目仍会以单选题形式出现，继续考查学生快速识别幂次特征的能力。

最终答案：B. 3