CSP-S 提高级 · CSP 2024 提高级第一轮 第 6 题

已知 $f(1) = 1$，且对于 $n \geq 2$ 有 $f(n) = f(n - 1) + f(\lfloor n/2\rfloor )$，则 $f(4)$ 的值为？

这题就是考递推，别想复杂，直接从 f(1)=1 开始，按公式一层层往上算 f(2)、f(3) 直到 f(4)，中间注意向下取整别算错就行。

最容易栽跟头的是把 f(4) 直接套成 f(3)+f(2) 就算完，其实 f(2) 本身还得算 f(1)+f(1)。还有就是看到 n/2 就下意识想四舍五入，或者对奇数取整搞混，比如觉得 f(3) 里 n/2 应该取 1.5 之类的，其实题目明确是向下取整，f(3) 里的 f(n/2) 就是 f(1)。

这题考什么

递推计算 + 向下取整。

概念人话版

递推就是数列里第 n 项等于前面几项的某种组合，这题给的是 f(n) = f(n-1) + f(向下取整 n/2)。 向下取整 \lfloor x \rfloor 就是不超过 x 的最大整数，比如 \lfloor 4/2 \rfloor = 2，\lfloor 3/2 \rfloor = 1，千万别当成四舍五入或者向上取整。

命题人怎么挖坑

这题表面看很简单，但命题人喜欢让你“跳过”中间项直接算 f(4)。很多同学会想：f(4) = f(3) + f(2)，算完就完事了，结果 f(2) 本身还得算 f(1)+f(1)，如果没算对 f(2)，最后答案就错了。另外，奇数项里的 \lfloor n/2 \rfloor 容易让人下意识觉得是 1.5 之类的，其实必须取整为 1。

拿到题先想什么→从哪入手→一步步推

拿到题，第一反应是：已知 f(1)=1，公式里每一项都只依赖比它小的项，所以只能从小到大一层层算。

• 先算 f(2)：

f(2) = f(1) + f(\lfloor 2/2 \rfloor) = f(1) + f(1) = 1 + 1 = 2。 这里很多人会漏掉这一步，直接跳到 f(3) 或 f(4)，结果 f(2) 没算对，后面全错。

• 再算 f(3)：

f(3) = f(2) + f(\lfloor 3/2 \rfloor) = f(2) + f(1) = 2 + 1 = 3。 注意 \lfloor 3/2 \rfloor = 1，不是 1.5 也不是 2，这是向下取整的坑。

• 最后算 f(4)：

f(4) = f(3) + f(\lfloor 4/2 \rfloor) = f(3) + f(2) = 3 + 2 = 5。

具体怎么算（总结）

从 f(1)=1 开始，依次算出 f(2)=2、f(3)=3、f(4)=5，答案就是 5。

避坑指南

• 别跳步：f(4) 依赖 f(3) 和 f(2)，f(2) 又依赖 f(1)，必须按顺序算。
• 向下取整别搞混：奇数 n 时 \lfloor n/2 \rfloor = (n-1)/2，比如 n=3 时就是 1，不是 2。
• 别把 f(2) 当成已知数直接代入，很多同学会误以为 f(2)=1 或者没算出来就硬套。

考频与趋势

递归函数在题库里共考过 115 题，覆盖 8 个级别，逐年分布：2007 年 4 题、2008 年 4 题、2009 年 2 题、2010 年 2 题、2012 年 2 题、2013 年 3 题、2014 年 1 题、2019 年 2 题、2020 年 1 题、2021 年 5 题、2022 年 2 题、2023 年 7 题、2024 年 25 题、2025 年 15 题、2026 年 18 题、null 年 22 题；分赛事：GESP 五级 35 题、CSP 入门级 32 题、GESP 六级 12 题、NOIP 提高组 初赛 10 题、CSP 提高级 9 题、NOIP 普及组 初赛 8 题、GESP 七级 7 题、GESP 八级 2 题。 数列基础共考过 5 题，覆盖 2 个级别（2010-2024）：2010 年 2 题、2019 年 1 题、2020 年 1 题、2024 年 1 题；分赛事：CSP 提高级 3 题、NOIP 普及组 初赛 2 题。 从数据看，递归函数近年考频明显上升，2024 年单年 25 题，2025 年 15 题，2026 年 18 题，说明这类递推计算题在 CSP 提高级和 NOIP 普及组/提高组初赛里越来越常见。

预测

基于给定数据，递归函数在 CSP 提高级、NOIP 普及组/提高组初赛的考频持续走高，未来几年仍大概率作为单选或多选的基础送分题出现，形式多为给定 f(1) 及递推式，要求算到 f(n)（n 较小，直接手算即可）。暂无足够依据预测是否会引入更复杂的递推结构或结合其他知识点（如取模、多变量递推），因为目前题库中数列基础仅 5 题且均为简单递推，递归函数虽多但多为单变量线性递推。因此，短期内这类纯递推计算题仍将以“从已知边界开始逐层推进”的形式考查，重点就是别跳步、别搞错向下取整。