NOIP 普及组初赛 · NOIP 2010 普及组初赛试题 第 7 题

设 $X,Y,Z$ 分别代表三进制下的一位数字，若等式 $\overline{XY} + \overline{ZX} = \overline{XYX}$ 在三进制下成立，那么同样在三进制下，等式 $\overline{XY} \times \overline{ZX} =$ （ ）也成立。

这道题考三进制下的数制转换与代数运算。拿到题先别急着按位算，把XY、ZX、XYX展开成十进制表达式，利用X、Y、Z取值范围0~2列方程，解出具体数字再回头算乘法，这样最稳。

很多学生容易把三进制当成十进制直接加，或者展开时把XYX写成9X+3Y+X却忘了合并同类项，导致方程变形出错。还有人会忽略X=1这个关键解，误以为X=0或X=2也能满足条件，从而算出错误的乘积。另外，最后算出十进制21后，要记得把它转回三进制，写成2×9+1×3+0×1，对应ZXY，这一步转换错就选错答案了。

考点与概念

这道题考查三进制下的数制转换与代数运算。在三进制中，每一位的权值是3的幂，三位数\(\overline{XYZ}\)表示的是\(X\cdot3^2 + Y\cdot3 + Z\)。题目中的\(\overline{XY}\)、\(\overline{ZX}\)、\(\overline{XYX}\)都是三进制数，X、Y、Z是三进制数字，取值只能是0、1、2。

命题视角

命题人喜欢在三进制、四进制等非十进制背景下出代数题，因为学生容易惯性按十进制展开。这里的关键陷阱是：展开后得到的是一个关于X、Y、Z的方程，而X、Y、Z有取值限制，不能随便解。命题人故意让方程看起来像有多个解，但实际只有X=1,Y=0,Z=2这组符合三进制数字定义。