CSP-J 入门级 · CSP 2025 入门级第一轮 第 13 题

十进制数 $720_{10}$ 和八进制数 $270_8$ 的和用十六进制表示是多少？

这道题考进制转换和加法。拿到题别慌，先把八进制数老老实实转成十进制，再跟题目给的十进制数相加，最后把结果转回十六进制就行。记住，每一步都要算准，尤其是按权展开那步。

最大的坑就是看到八进制数270，脑子里直接蹦出270这个十进制数去加，结果肯定错，因为八进制里没有8和9。还有人在转十六进制时，除16取余的顺序搞反了，或者把余数从下往上读的时候读乱了。另外，算2×8²的时候容易把8²算成64，但2×64这一步乘法算错，或者把128+56算成别的数，最后加起来就不是904了。

这道题考查的是进制之间的转换与计算，属于信息学竞赛初赛中的基础但高频考点。命题人喜欢在这里挖坑，就是利用符号的相似性，比如八进制数270和十进制数270长得像，但含义完全不同。八进制是由0到7这八个数字组成的，逢八进一；十进制是我们日常用的0到9，逢十进一；十六进制则是0到9加上A到F，逢十六进一。解题的核心思路就是“统一进制再运算”，也就是先把所有数都转成十进制，做加法，再把结果转回十六进制。

首先处理八进制数270。根据按权展开的原理，每一位上的数字都要乘以它对应的权值（即基数的幂次）。270这个数，从右往左看，第一位是0，权值是8的0次方，也就是1；第二位是7，权值是8的1次方，也就是8；第三位是2，权值是8的2次方，也就是64。所以，270（八进制）等于2乘以64，加上7乘以8，再加上0乘以1。算一下，2乘64是128，7乘8是56，0乘1是0。把它们加起来：128加56等于184，再加0还是184。所以，八进制的270就是十进制的184。

接下来做加法。题目给的另一个数是十进制的720。把刚才算出来的184加到720上，720加184等于904。现在我们得到了十进制的904，题目要求用十六进制表示。

十进制转十六进制，最稳妥的方法就是“除16取余法”。我们从904开始，除以16，商是56，余数是8。这个余数8就是十六进制数的最低位。接着拿商56继续除以16，商是3，余数还是8。这个余数8就是十六进制数的中间位。最后拿商3除以16，商是0，余数是3。这个余数3就是十六进制数的最高位。按照从后往前的顺序把这些余数拼起来，就是388。所以，904（十进制）等于388（十六进制）。

为了保险起见，我们可以验算一下。388这个十六进制数，按权展开就是3乘以16的平方，加上8乘以16，再加上8。16的平方是256，3乘256是768；8乘16是128；再加8。768加128是896，896加8是904。完全吻合，说明计算无误。

这道题在历年竞赛中非常常见，特别是GESP和CSP入门级，几乎每年必考，2025年更是考了17题，说明命题人很看重学生对不同进制转换的熟练度。学生最容易犯的错误就是混淆八进制和十进制的数字范围，或者在按权展开时漏掉某一位的乘法，导致结果偏差很大。另外，在除16取余时，如果商为0就停止，但有时学生会忘记最后一步的余数，或者把余数顺序写反，这都是需要警惕的。

最后，关于未来的趋势，基于2024年考了29题、2025年考了17题、2026年预测也考了17题的数据来看，进制转换题依然是高频考点，但2025年的数量相比2024年有所下降，可能意味着命题风格在微调，或者题目难度有所提升，不再单纯考死记硬背的转换，而是结合其他知识点综合考查。不过，仅凭这几年的数据，还不足以预测具体的出题形式，比如是否会更多地结合编程实现或更复杂的进制混合运算，目前暂无足够依据做出准确预测。