NOIP 提高组初赛 · NOIP 2009 提高组初赛试题 第 6 题

表达式 $\texttt{a*(b+c)-d}$ 的后缀表达式是：

这题就是考中缀转后缀（逆波兰）的栈操作。拿到题别慌，记住口诀：数字直接写，左括号进栈，右括号把栈里能弹的都弹出来，遇到运算符就先把栈里比它优先级高的弹掉，再把自己压进去。最后把栈里剩的再清一遍，答案自然就出来了。

学生最容易栽跟头的地方是括号处理。很多人看到 a*(b+c) 里的加号，下意识觉得它优先级低就不弹，或者把括号里的内容当成整体直接往后放，结果把乘号的位置搞错。还有的同学会忽略栈的清空步骤，导致末尾多出来一个运算符。另外，优先级判断要死磕：乘法肯定比加法高，括号里的加法必须先算，所以加号必须在乘号前面输出，这点一旦搞反，选项 A、C 就都成了陷阱。

这道题考查的核心知识点是后缀表达式（逆波兰表达式）及其中缀转后缀的栈操作规则。命题人喜欢在括号和运算符优先级交界处挖坑，因为这是学生凭直觉最容易出错的地方：很多人会把括号里的运算顺序想当然地直接对应到输出顺序，而忽略了栈的“后进先出”特性。咱们得把规则掰开揉碎了说：从左到右扫描中缀表达式，遇到操作数（比如 a、b、c、d）直接输出；遇到左括号 ( 就无条件入栈；遇到右括号 ) 就要把栈顶运算符依次弹出输出，直到遇到左括号为止（左括号本身不输出）；遇到普通运算符时，要把栈里所有优先级大于等于它的运算符弹出来，然后再把自己压进栈里。扫描完整个表达式后，栈里还剩下的运算符要全部弹出输出。

现在咱们把手里的式子 a*(b+c)-d 按这个流程走一遍： 1. 扫到 a，直接输出 a，栈空。 2. 扫到 *，栈空，直接压栈，栈里是 [*]。 3. 扫到 (，压栈，栈里是 [* (]。 4. 扫到 b，输出 b，栈不变。 5. 扫到 +，栈顶是 (，不能弹，直接压栈，栈里是 [* ( +]。 6. 扫到 c，输出 c，栈不变。 7. 扫到 )，这时候要把栈里能弹的都弹出来，直到遇到 (。所以 + 弹出输出，栈里剩下 [* (]，然后遇到 ( 停止，左括号不输出，栈里是 [*]。 8. 扫到 -，这时候栈顶是 *，* 的优先级高于 -，所以必须先把 * 弹出来输出，栈里空了，再把 - 压进去，栈里是 [-]。 9. 扫到 d，输出 d，栈不变。 10. 扫描结束，栈里还剩一个 -，把它弹出来输出。

把输出连起来就是：a b c + * d -，写紧凑点儿就是 **abc+*d-**。

咱们再回头看看选项，A 是 abcd*+-，这明显是把乘法放到了加法后面，而且括号里的加法没先算，顺序全乱；C 是 abc*+d-，这里把乘号提前了，导致加法在乘法之后，违背了括号优先的原则；D 则是完全反过来的前缀形式。只有 B 完全符合我们刚才一步步推导的结果。

从考频数据来看，运算符与表达式这个考点在题库里一共出现过 261 次，覆盖了近十年的所有级别，其中 2023 年一下子考了 91 题，2024 年 41 题，2025 年 61 题，2026 年 14 题，说明这类题目在近年来的初赛和 GESP 考试中热度极高，尤其是 NOIP 提高组初赛里每年都有涉及（2026 年已出 14 题）。栈的考点也考了 89 次，同样在 2024-2026 年爆发式增长。这提示我们，中缀转后缀这种基础但容易混淆的题型，在未来几年大概率还会以单选或填空的形式高频出现，甚至可能出现更复杂的嵌套括号或自定义运算符优先级的变体。

所以，下次遇到这种题，千万别急着选，先在草稿纸上按规则走一遍栈的操作，特别是括号闭合那一刻和运算符优先级比较那一刻，多检查两遍，就能稳稳避开命题人的坑。