GESP 八级 · GESP 202509 C++ 八级 第 2 题

小杨和小刘是好朋友，她们在逛商场时发现新设置的大头贴自拍机，于是决定一起拍一组照片。一组照片包括 $4$ 张，这 $4$ 张照片没有顺序区分。拍每张照片时，可以选择有相框或无相框、两人可以分别选择有头饰或无头饰、还可以从 $2$ 种位置（小杨在左，或小刘在左）中选出一种。她们不希望一组照片中出现完全相同的相框、头饰、位置的组合。请问一组照片共有多少种不同的方案？（ ）。

排列组合问题：先判断是否考虑顺序（排列P vs 组合C），再确定是否允许重复。乘法原理分步，加法原理分类。

区分排列（考虑顺序，$P(n,m)$）和组合（不考虑顺序，$C(n,m)$）。注意特殊元素优先处理、正难则反等计数技巧。

【考点】组合数学｜组合数公式 C(n, k)｜计数原理

1. 🎯 考纲定位 GESP 八级《组合数学》模块。命题人卡住的是很多考生"看到组合题就慌"——他们只会背 C(n,k) 公式，但连 n 和 k 到底是多少都算不出来，这就是高级阶段和中级阶段的分水岭。

2. 🧠 解题思维 先算"元素总数"：相框 2 种×头饰 2×2 种（两人各自选有或无）×位置 2 种=16 种，这是单张照片的所有可能。再算"从 16 种里任选 4 种"：因为题目强调"没有顺序区分"，所以用组合数 C(16,4)=16×15×14×13/(4×3×2×1)=1820。通法是：先确定元素总数，再根据是否有序选择公式。

3. 🪤 陷阱拆解 选项 B(70) 是 16×4=64 的误算，选项 C(24) 是 16−4=12 的减法误用，选项 D(16) 是只算相框的 2 种。题目最阴险的细节是"两人分别选择有头饰或无头饰"——必须算成 2×2=4 种，不是 2 种；还有"没有顺序区分"意味着必须用 C 不用 P，很多人会掉进这个坑。

4. 🔄 反命题思维 如果把"4 张照片"改成"5 张"，答案就会变成 C(16,5)=4368；如果改成"按顺序拍照"，就要用排列 A(16,4)=9600。