GESP 七级 · GESP 202403 C++ 七级 第 8 题

已知 $x$ 为 double 类型的变量，且值大于 $0$，则下列表达式的值一定大于 $0$ 的是（ ）。

排列组合问题：先判断是否考虑顺序（排列P vs 组合C），再确定是否允许重复。乘法原理分步，加法原理分类。

区分排列（考虑顺序，$P(n,m)$）和组合（不考虑顺序，$C(n,m)$）。注意特殊元素优先处理、正难则反等计数技巧。

【考点】数学函数性质｜导数单调性｜不等式证明

🎯 考纲定位：GESP 七级 C++ 模块 3（数学基础），重点考察 cmath 函数行为与不等式证明。命题人卡住的是考生对函数增长速率的直觉——看到 exp(x) 就以为它一定大，却忽略 x 本身也随 x 增大；看到 log(x) 就以为它总正，却不知它比线性函数慢。这道题用"一定大于 0"的强条件，逼考生跳出"表达式形式"看"值域本质"。

🧠 解题思维：看到 exp(x)-x，先想"指数函数与线性函数的差"。用导数 f'(x)=e^x-1，因为 x>0 时 e^x>1，导数恒正→函数单调递增。求端点 x→0⁺，e^x-x→1-0=1>0。既然单调增且起点>0，则全程>0。通法：对含 exp、log、sin 等超越函数的不等式，优先用导数判断单调性，再结合边界值。这是竞赛中"证明恒正/恒负"的核心套路。

🪤 陷阱拆解：A 项 sin(x)/x 看似有界，但 x 稍大（如 3π/2）时 sin(x) 为负，比值变负；C 项 log(x)-x 在 x=1 时为 -1，命题人用"对数永远小于 1"的直觉（其实 log(x) 可大于 1，但比 x 慢）；D 项 x²-x 在 0<x<1 时为负，命题人用"平方数总比原数大"的常识