GESP 五级 · GESP202609 C++ 五级 第 7 题

根据唯一分解定理，整数 $756$ 的正确质因数分解是（　　）。

看到质因数分解题，先想唯一分解定理——每个大于1的整数都能写成质数幂的乘积，且表示唯一。解题通法是从小到大试除质数：先除2看能除几次，再除3，再除5、7……直到商为1。本题数字756，先除2得378，再除2得189，说明含 $2^2$；189÷3=63，63÷3=21，21÷3=7，说明含 $3^3$；剩下7是质数。这样凑出 $2^2 \times 3^3 \times 7$，正好是选项A。

选项C和D都混入了合数21和14，违背唯一分解定理——质因数分解必须只含质数。选项B指数写反了，$2^3 \times 3^2 \times 7 = 504$，不是756。最阴险的是题干数字被隐去，考生若凭记忆写252的分解 $2^2 \times 3^2 \times 7$ 就会掉进陷阱，必须严格按试除法一步步算。

考纲定位 本题考查《GESP 考试大纲》五级"数论模块"中的唯一分解定理。命题人专门设计这道题，就是要卡住考生对"质因数必须全是质数"这一核心概念的模糊认知——很多考生会下意识把21、14当成合法因子，或者把指数搞混。

解题思维 看到质因数分解题，先想唯一分解定理——每个大于1的整数都能写成质数幂的乘积，且表示唯一。解题通法是从小到大试除质数：先除2看能除几次，再除3，再除5、7……直到商为1。本题数字756，先除2得378，再除2得189，说明含 $2^2$；189÷3=63，63÷3=21，21÷3=7，说明含 $3^3$；剩下7是质数。这样凑出 $2^2 \times 3^3 \times 7$，正好是选项A。

陷阱拆解 选项C和D都混入了合数21和14，违背唯一分解定理——质因数分解必须只含质数。选项B指数写反了，$2^3 \times 3^2 \times 7 = 504$，不是756。最阴险的是题干数字被隐去，考生若凭记忆写252的分解 $2^2 \times 3^2 \times 7$ 就会掉进陷阱，必须严格按试除法一步步算。

反命题思维 如果把756改成756×2=1512，答案会变成 $2^3 \times 3^3 \times 7$；如果把756改成756÷3=252，答案会变成 $2^2 \times 3^2 \times 7$。命题人故意隐去数字，就是想看考生是否真的会做除法，而不是死记硬背。