NOIP 提高组初赛 · NOIP 2017 提高组初赛试题 第 10 题

若 $f_0 = 0, f_1 = 1, f_{n + 1} = \dfrac{f_n + f_{n - 1}}{2}$，则随着 $i$ 的增大，$f_i$ 将接近于( )。

拿到递推式先求不动点L，再验证是否收敛到该点；若不动点不唯一，就代入初值用特征根法写出通项再取极限。

很多同学看到递推式直接令f_{n+1}=f_n=L，解得L=(L+L)/2，发现恒成立，就以为极限可以是任意数，或者干脆选A或D。其实不动点只是必要条件，是否收敛还得看特征根模长是否小于1，或者直接用通项公式看哪一项趋于0。本题特征根-1/2绝对值小于1，所以震荡项会消失，剩下常数项才是极限。

考点：二阶线性递推数列的极限与通项

这道题考查的是递推数列的极限问题，属于数列极限中的经典题型。命题人通常喜欢用看似简单的递推式，让学生误以为直接列方程就能解，实则考察对特征方程和通项结构的把握。

思考路径：不动点法与特征根法

拿到递推式 $f_{n+1} = \frac{f_n + f_{n-1}}{2}$，第一步是求不动点。令 $f_{n+1} = f_n = f_{n-1} = L$，代入得 $L = \frac{L+L}{2} = L$。这个方程恒成立，说明不动点不唯一，不能直接确定极限值。这时候必须用特征根法求通项。

特征方程由递推式变形而来：$f_{n+1} - \frac{1}{2}f_n - \frac{1}{2}f_{n-1} = 0$，对应特征方程为 $r^2 - \frac{1}{2}r - \frac{1}{2} = 0$，即 $2r^2 - r - 1 = 0$。解得 $r_1 = 1$，$r_2 = -\frac{1}{2}$。

因此通项可设为 $f_n = A \cdot 1^n + B \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^n = A + B\left(-\frac{1}{2}\right)^n$。

代入初值：

• $n=0$：$f_0 = A + B = 0$；
• $n=1$：$f_1 = A - \frac{1}{2}B = 1$。

解这个方程组得 $A = \frac{2}{3}$，$B = -\frac{2}{3}$。于是 $$f_n = \frac{2}{3} - \frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n$$。

当 $n \to \infty$ 时，$\left(-\frac{1}{2}\right)^n \to 0$，所以 $\lim_{n\to\infty} f_n = \frac{2}{3}$。