NOIP 提高组初赛 · NOIP 2010 提高组初赛试题 第 18 题

一个平面的法线是指与该平面垂直的直线。过点 $(1,1,1),(0,3,0),(2,0,0)$ 的平面的法线是（   ）。

拿到三点先算两个方向向量，再叉积得法向量。别急着看选项，把法向量化简成最简整数比，再逐一比对各选项直线的方向，看是否共线即可。

最容易栽跟头的是叉积符号搞反或者算错行列式，导致法向量方向反了，结果误选A或B；还有的同学算完法向量后没化简，直接拿(-3,-2,-1)去套选项，发现选项里都是正数就慌了，其实方向向量可以缩放，(-3,-2,-1)和(3,2,1)是同一条直线的方向。

考点与概念

这题考的是空间解析几何里的“平面法线”。简单说，平面的法线就是垂直于这个平面的直线，它的方向向量就是平面的法向量。求法向量最稳妥的办法是：在平面上任取两个不共线的向量，把它们做叉积（外积），叉积的结果就是一个同时垂直于这两个向量的新向量，也就是法向量。

命题人怎么挖坑

NOIP 初赛喜欢考这种“算完就完事”的题，坑往往在两个地方：一是叉积公式记混符号，二是算出法向量后不化简，直接拿着带负号的大数去硬套选项。其实法向量只要方向对就行，可以任意缩放。比如算出(-3,-2,-1)，它和(3,2,1)完全代表同一个方向，选项里出现正数反而正常。

思考心法：拿到题先想什么

1. 先把三个点记下来：A(1,1,1)、B(0,3,0)、C(2,0,0)。 2. 选两个点做向量，比如 AB 和 AC。 3. 用行列式算叉积： AB = B - A = (-1, 2, -1) AC = C - A = (1, -1, -1) 法向量 n = AB × AC = | i j k| |-1 2 -1| |1 -1 -1| = i[(2)(-1) - (-1)(-1)] - j[(-1)(-1) - (-1)(1)] + k[(-1)(-1) - (2)(1)] = i(-2 - 1) - j(1 + 1) + k(1 - 2) = (-3, -2, -1) 4. 化简方向：(-3,-2,-1) 和 (3,2,1) 是同向的，取正数方便比对。

逐项排查

• A：过(1,1,1)和(2,3,3) → 方向(1,2,2)。与(3,2,1)不共线，排除。
• B：过(1,1,1)和(3,2,1) → 方向(2,1,0)。不共线，排除。
• C：过(0,3,0)和(-3,1,1) → 方向(-3,-2,1)。第三个分量是+1，我们的是-1，方向相反，排除。
• D：过(2,0,0)和(5,2,1) → 方向(3,2,1)。完全吻合！

避坑提醒

很多同学看到法向量是(-3,-2,-1)就以为选项里必须也有负号，结果在C选项上纠结半天。记住，方向向量可以乘-1，(-3,-2,-1)和(3,2,1)是一条直线的方向，所以C的( -3,-2,1)虽然前两个分量对了，但第三个分量符号错了，根本不在同一条直线上。

考频与趋势

从历史数据看，“其他数学”类题目在 NOIP 提高组初赛里一共出现过3次，集中在2010年和2017年（2010年1题，2017年2题），说明这类几何题虽然不常考，但一旦考就是经典题型，命题人偏爱用三点定平面、再问法线这种组合来检验基本功。

预测

基于现有数据，未来几年这类“三点定平面→求法线”的题目大概率还会以单选形式出现，可能换个包装，比如给四个点让判断哪三点共面，或者反过来给法线求平面方程。暂无足够依据预测具体年份，但复习时务必把叉积公式和方向向量缩放这两个坑彻底吃透。

综上，正确答案是 D。