NOIP 提高组初赛 · NOIP 2012 提高组初赛试题 第 17 题

逻辑异或（$\oplus$）是一种二元运算，其真值表如下所示。  以下关于逻辑异或的性质，正确的有（ ）。

这题考逻辑异或的性质，拿到题先别急着背公式，把真值表画出来，用01代入验证几个选项，交换律结合律一眼就能看出，分配律大概率会踩坑。

很多学生看到异或就只记住交换律和结合律，一遇到分配律选项就凭直觉选，觉得‘异或像加减，应该对与或都有分配律’。其实异或只满足对‘异或’自身和‘与’的两种分配形式，对普通的逻辑与、逻辑或都不满足分配律，这是命题人最爱挖的坑，千万别用直觉硬套。

这道题考查逻辑异或（⊕）的基本性质，属于逻辑代数基础内容。在竞赛里，这类题往往不考复杂的推导，而是考你对运算律的熟悉程度，尤其是那些‘看起来很像’但实际不成立的分配律。命题人特别喜欢在交换律、结合律后面放两个分配律选项，诱导你凭经验乱选，所以一定要用真值表老老实实验证。

首先回顾一下异或的定义：a⊕b=1当且仅当a、b不同，否则为0。从真值表可以立刻看出，a⊕b=b⊕a，交换律成立，A正确；再看结合律，(a⊕b)⊕c与a⊕(b⊕c)的真值表完全一致，B也正确。

接下来看C：a⊕(b∧c)=(a⊕b)∧(a⊕c)。我们随便取一组值：a=1，b=1，c=1。左边=1⊕(1∧1)=1⊕1=0；右边=(1⊕1)∧(1⊕1)=0∧0=0，这组碰巧相等。再换一组：a=1，b=0，c=0。左边=1⊕(0∧0)=1⊕0=1；右边=(1⊕0)∧(1⊕0)=1∧1=1，还是相等。别急，再试a=0，b=1，c=1。左边=0⊕(1∧1)=0⊕1=1；右边=(0⊕1)∧(0⊕1)=1∧1=1。看起来好像恒等？不对，再试a=1，b=1，c=0。左边=1⊕(1∧0)=1⊕0=1；右边=(1⊕1)∧(1⊕0)=0∧1=0。左边≠右边，C不成立。

再看D：a⊕(b∨c)=(a⊕b)∨(a⊕c)。同样用真值表验证，取a=1，b=1，c=1。左边=1⊕(1∨1)=1⊕1=0；右边=(1⊕1)∨(1⊕1)=0∨0=0。再试a=1，b=0，c=0。左边=1⊕(0∨0)=1⊕0=1；右边=(1⊕0)∨(1⊕0)=1∨1=1。再试a=0，b=1，c=1。左边=0⊕(1∨1)=0⊕1=1；右边=(0⊕1)∨(0⊕1)=1∨1=1。再试a=1，b=1，c=0。左边=1⊕(1∨0)=1⊕1=0；右边=(1⊕1)∨(1⊕0)=0∨1=1。左边≠右边，D也不成立。

所以只有A、B正确。

从考频数据看，逻辑代数在历年NOIP/GESP中非常高频，共考过47题，覆盖7个级别。逐年分布：2007年5题、2008年2题、2010年2题、2011年1题、2012年2题、2013年1题、2014年1题、2020年1题、2023年3题、2024年9题、2025年15题、2026年5题。分赛事来看，GESP五级20题、NOIP提高组初赛9题、GESP八级6题、NOIP普及组初赛5题、GESP六级3题、GESP七级2题、CSP入门级2题。2024年和2025年逻辑代数考频明显上升，说明命题人越来越喜欢考基础运算律的细节，尤其是那些‘看起来很像’但实际不成立的分配律。未来这类题大概率会继续出现在初赛单选题中，甚至可能变成多选题的陷阱选项。

最后提醒一句：这类题千万别靠记忆‘异或满足分配律’这种模糊印象，一定要用真值表逐项验证，尤其是C、D这种看着像对的选项，最容易掉坑。