NOIP 提高组初赛 · NOIP 2007 提高组初赛试题 第 11 题

设 A=B=true，C=D=false，以下逻辑运算表达式值为真的有（ ）。

拿到题别急着套公式，直接代入已知真值：A、B是真，C、D是假。把四个选项像做算术题一样一步步演算，看哪个最后结果不是假，就是正解。

学生最容易栽在两个地方：一是把‘非’（¬）的优先级搞错，先算括号里的‘或’再算‘非’，结果全翻车；二是代入时把真假搞反，比如把C当成真，导致整个式子变假。还有部分同学会忽略‘与’和‘或’的短路特性，盲目展开计算，反而容易出错。

逻辑运算真值判定

这道题考查的是逻辑代数中的基本运算规则，具体包括“非（¬）”、“与（∧）”、“或（∨）”三种运算及其优先级。命题人喜欢在初赛里出这种代入真值求结果的题，因为它不考复杂证明，只考细心和优先级掌握——谁先算谁后算，往往决定生死。

核心规则：

• 非（¬）优先级最高，先算；
• 与（∧）次之；
• 或（∨）最后。
• 括号内优先计算，括号外再按优先级从上往下。

已知条件很简单：A=true, B=true, C=false, D=false。下面逐项代入验证：

选项 A：(¬A∧B)∨(C∧D∨A) 先算括号：

• 左边 ¬A = false，false ∧ true = false；
• 右边 C∧D = false，false ∨ A = false ∨ true = true；

整体：false ∨ true = true。

选项 B：¬(((A∧B)∨C)∧D) 注意最外层有个“非”，里面是“与”。

• 先算内层括号：A∧B = true，true ∨ C = true ∨ false = true；
• 再算外面的“与”：true ∧ D = true ∧ false = false；
• 最后取“非”：¬false = true。

很多同学会在这里把外层的“非”漏掉，或者把里面的“与”当成“或”，导致算出false，这就是典型坑点。

选项 C：A∧(B∨C∨D)∨D 按优先级，先算括号里的“或”：

• B∨C∨D = true ∨ false ∨ false = true；
• 再算“与”：A ∧ true = true；
• 最后“或”：true ∨ D = true ∨ false = true。

选项 D：(A∧(D∨C)) ∧B 括号里 D∨C = false，A ∧ false = false，再 ∧ B = false ∧ true = false。

综上，值为真的有选项是 A、B、C，与参考答案一致。

考频与趋势： 逻辑代数在历年信息学竞赛中非常高频。据题库统计，共出现过47题，覆盖7个级别（2007-2026）。分布上：2007年5题、2008年2题、2010年2题、2011年1题、2012年2题、2013年1题、2014年1题、2020年1题、2023年3题、2024年9题、2025年15题、2026年5题。分赛事看：GESP五级20题、NOIP提高组初赛9题、GESP八级6题、NOIP普及组初赛5题、GESP六级3题、GESP七级2题、CSP入门级2题。

从数据能看出，逻辑题近年明显增多，尤其是2024、2025两年分别考了9题和15题，说明命题人越来越重视基础逻辑的考查深度。未来大概率会继续在初赛中出现类似“代入真值求结果”的题目，形式可能更隐蔽（比如嵌套更多括号、混合运算），但核心仍是掌握优先级和正确代入。

暂无足够依据预测未来具体题型变化，但建议学生把逻辑运算的优先级和真值表练熟，这是应对这类题目的万能钥匙。