NOIP 提高组初赛 · NOIP 2008 提高组初赛试题 第 13 题

设 A=true,B=false,C=true,D=false，以下逻辑运算表达式值为真的有（ ）。

这题就是送分题，别整那些虚头巴脑的。拿到这种真值题，别犹豫，直接把 A、B、C、D 四个变量的真假代入，像做算术题一样一步步算，谁为真谁为假，最后看哪个选项结果是真，这就行了。

大部分同学会掉进两个坑：一个是觉得逻辑题要搞什么德摩根定律、分配律，其实这种真值代入题完全不需要那些花里胡哨的变形，直接算最稳；另一个是运算顺序搞错，特别是 C 选项，里面有'或'和'与'混在一起，很多人会误以为'或'优先级低就后算，其实'与'优先级高，得先算 D∧A，再跟前面的大块'或'，算错了直接选错。

这道题考查的是逻辑代数中的真值计算，属于基础中的基础，但在初赛里经常用来挖运算顺序的坑。

先明确几个概念：逻辑与（∧）就是两个都为真才真，只要有一个假就是假；逻辑或（∨）是只要有一个真就真，全假才假；题目里给的 A 是真，B 是假，C 是真，D 是假，这就是我们的输入。

命题人最喜欢在 C 选项这种地方设陷阱，把'或'和'与'混在一起，诱导学生按从左到右的顺序瞎算。记住，运算顺序是'与'优先于'或'，所以遇到混合运算，必须先算'与'的部分，再算'或'。

现在逐项代入计算：

A 选项：(A∧B)∨(C∧D∨A)。 先算括号里的 A∧B，真和假，结果是假。 再算 C∧D，真和假，结果是假。 然后算假∨A，假和真，结果是真。 最后把两个括号拼起来：假∨真，结果是真。所以 A 是对的。

B 选项：((A∧B)∨C)∧D。 先算 A∧B，得假。 假∨C，假和真，得真。 真∧D，真和假，得假。所以 B 是错的。

C 选项：(B∨C∨D)∨D∧A。 这里要特别注意顺序。先算'与'部分 D∧A，假和真，得假。 再算'或'部分 B∨C∨D，假∨真∨假，得真。 最后真∨假，得真。所以 C 是对的。

D 选项：A∧(D∨C)∧B。 先算 D∨C，假∨真，得真。 然后 A∧真，得真。 真∧B，真和假，得假。所以 D 是错的。

综上，值为真的有是 A 和 C。

这个知识点在历年初赛里考得挺频繁的。从题库统计来看，逻辑代数一共考过 47 题，覆盖了从 2007 到 2026 年的所有级别。具体分布是：2007 年 5 题、2008 年 2 题、2010 年 2 题、2011 年 1 题、2012 年 2 题、2013 年 1 题、2014 年 1 题、2020 年 1 题、2023 年 3 题、2024 年 9 题、2025 年 15 题、2026 年 5 题。分赛事看，GESP 五级考了 20 题，NOIP 提高组初赛考了 9 题，GESP 八级 6 题，NOIP 普及组初赛 5 题，GESP 六级 3 题，GESP 七级 2 题，CSP 入门级 2 题。数据这么一摆，趋势很明显：近两三年（2024、2025、2026）考得特别密，尤其是提高组初赛，2024 年单年就考了 9 题，2025 年更是飙到 15 题，说明命题人现在很喜欢在初赛里出这种纯逻辑计算的题，用来区分基础扎实不扎实的学生。

基于这个趋势，我预测未来两三年，提高组初赛里这种真值计算题大概率还会保持高频率，甚至可能稍微变难一点，比如把括号嵌套得更深，或者把'非'运算加进去，增加运算顺序的迷惑性。但不管怎么变，核心思路不变：代入真值，按优先级算，别被表面复杂的式子吓住。