NOIP 普及组初赛 · NOIP 2012 普及组初赛试题 第 4 题

十六进制数 $9A$ 在（ ）进制下是 $232$。

这题本质是进制转换。先把十六进制的9A转成十进制数，再设这个数在R进制下等于232，列方程解R即可。

最容易栽跟头的就是按权展开算错：232(R)应该是2×R²+3×R+2，千万别写成2×R²+3×R+2×R或者漏掉个位。解方程时如果不会因式分解，硬套求根公式也能算出正根8，但很多同学会忽略负根舍去的条件，或者把十六进制的A当成10却忘了它代表的是10×16¹这一项。

考点与命题视角

这题考查的是进制转换与一元二次方程求解。命题人喜欢在十六进制、八进制、十二进制这些非十进制的体系里出题，因为学生习惯了十进制，看到陌生的基数容易慌。这道题把十六进制的9A和某个进制下的232对应起来，其实就是考你能否熟练地按权展开并解方程。

概念与计算过程

十六进制的9A，按权展开就是9×16¹+10×16⁰=144+10=154（十进制）。现在要把154写成R进制下的232，也就是2×R²+3×R+2=154。整理一下得到2R²+3R−152=0。

解这个方程：用求根公式R=[−3±√(9+1216)]/4=[−3±√1225]/4=[−3±35]/4，得R=8或R=−9.5。进制数当然不能是负数，舍去负根，R=8。