NOIP 普及组初赛 · NOIP 2011 普及组初赛试题 第 9 题

一个正整数在二进制下有 $100$ 位，则它在十六进制下有（ ）位。

这题考进制转换里的位数换算，别被数字大小吓住，直接按位权分组：每4位二进制凑成1位十六进制，用总位数除以4就行。

很多学生看到“二进制”就下意识想转成十进制再算十六进制，结果算半天还容易溢出；其实题目只问十六进制的位数，跟具体数值无关，只要位数能被4整除，直接除就完事。还有人会纠结“能不能确定”，以为不知道具体数就不行，但二进制位权是固定的，100位二进制一定对应25位十六进制，这是数学上的必然，不是猜测。

本题考查的是进制转换中的位数关系，属于信息学基础常识题。命题人常喜欢用这种“只问位数、不问值”的陷阱，让学生误以为必须知道具体数字，其实只要掌握位权规律就能秒杀。

核心概念很简单：二进制每4位对应十六进制1位。十六进制一位有16种取值（0~15），而二进制4位能表示的最大数是1111₂ = 15₁₀，刚好覆盖十六进制的一位范围。因此，任意一个二进制数，每4位可以“打包”成一个十六进制位。

拿到题先想什么？先确认总位数100是否能被4整除——100 ÷ 4 = 25，整除，说明正好能完整打包成25位十六进制，没有余位。如果有余位（比如101位），那就要向上取整，变成26位（因为最后一位不够4位也要占一个十六进制位）。但本题是100，直接除即可。

具体怎么算？不需要把100位二进制展开成十进制再转十六进制，那样既繁琐又容易出错。直接用公式：十六进制位数 = ⌈二进制位数 / 4⌉。这里100 / 4 = 25，所以答案是25位。

避坑提醒：选项D“不能确定”是典型的迷惑项，诱导学生怀疑“不知道具体数怎么确定位数”。其实位数只和总位数有关，与数值大小无关。只要位数固定，十六进制位数就唯一确定。所以选C。

考频与趋势：从题库数据看，进制与编码是高频考点。2023年考了17题，2024年29题，2025年17题，2026年17题，连续多年保持高位，说明这类基础概念题在初赛、普及组乃至提高组都反复出现。特别是位数换算这种“一眼就能看出答案”的题，命题人倾向于用来测试学生是否真正理解进制原理，而不是死记硬背。

预测：鉴于2023-2026年连续高考频，未来几年仍大概率会考进制转换，尤其是二进制与十六进制、八进制之间的位数关系。可能以单选题形式出现，也可能在填空题或计算题中作为一步转换考查。建议学生务必掌握“每4位二进制=1位十六进制”这一规律，做到条件反射式反应。

最终答案：C（25）