NOIP 普及组初赛 · NOIP 2010 普及组初赛试题 第 13 题

一个自然数在十进制下有 $n$ 位，则它在二进制下的位数与（ ）最接近。

这题考进制转换里的对数性质。拿到题先想：n位十进制数最大是10^n减1，二进制位数就是对10^n取以2为底的对数，利用对数幂法则把n提出来就秒了。

学生最容易把log₂10≈3.322当成5，觉得10^3=1000，二进制也就10位左右，就瞎猜A选项5n。其实log₂10是个无理数，约3.32，不是整数。还有人会纠结要不要加1（因为位数是向上取整），但在估算‘最接近’哪个选项时，这个+1完全可以忽略，直接看数量级和系数就行。

考点：进制转换与对数性质

这道题核心就是两个概念： 1. n位十进制数的范围：最小是10^{n-1}，最大是10^n - 1。做题时为了估算位数，我们通常只看上界，也就是10^n。 2. 二进制位数的计算：一个正整数x在二进制下有多少位，等价于求以2为底的对数后向上取整，即 ⌈log₂x⌉。

命题视角：为什么这么考？

命题人想考察你对对数运算法则的熟练程度，特别是 logₐ(b^c) = c·logₐb 这个公式。在信息学竞赛里，进制转换、位运算、复杂度分析都离不开对数，这是基础中的基础。如果连这个都卡壳，后面遇到大数取模、堆排序复杂度推导都会很吃力。