GESP 八级 · GESP202609 C++ 八级 第 6 题

杨辉三角中，第 7 行第 3 个数（行、列均从 0 开始计数）是（ ）。

看到杨辉三角直接想到组合数公式 $\binom{n}{k}$，第7行第3列即 $\binom{7}{3}$，用阶乘或递推都能算，关键是别把行列数搞反。

A 是 $\binom{6}{2}=15$ 错成 21，C 是 $\binom{7}{2}=21$ 错成 42，D 是 $\binom{8}{3}=56$ 错成 56，都是把行号或列号看错导致的。

1. 考纲定位

本题考查《GESP 考试大纲》八级"组合数学"模块。命题人放这道题，就是要卡住那些只会背"杨辉三角是 1,1,2,3,5,8..."却不懂组合数公式的考生——他们容易把行号列号搞混，或者把 $\binom{n}{k}$ 当成 $\binom{n}{n-k}$ 的简单对称，结果算错。

2. 解题思维

杨辉三角第 $n$ 行第 $k$ 个数就是组合数 $\binom{n}{k}$。第 7 行第 3 列即 $\binom{7}{3}$，按定义展开： $$\binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$$ 用递推验证：第 7 行是 1,6,15,20,15,6,1，第 3 个位置确实是 20，等等，我算错了——递推法逐行生成：第 0 行 1；第 1 行 1,1；第 2 行 1,2,1；第 3 行 1,3,3,1；第 4 行 1,4,6,4,1；第 5 行 1,5,10,10,5,1；第 6 行 1,6,15,20,15,6,1；第 7 行 1,7,21,35,35,21,7,1。第 3 个数是 35，答案 B 正确。