GESP 八级 · GESP202609 C++ 八级 第 17 题

对任意正整数 n，二项式 (a+b)^n 的展开式中，按项序从第 0 项起计数，奇数项系数之和等于偶数项系数之和。

看到二项式系数和的问题，先联想到二项式定理的赋值技巧。关键观察是：令a=1,b=-1时展开式变为0，意味着奇偶项系数交替相减抵消。数值验证：n=1时系数1,1；n=2时1,2,1；n=3时1,3,3,1——奇偶项和确实相等。通法是：二项式系数和求值问题，用赋值法构造方程组，(1+1)^n=2^n给出总和，(1-1)^n=0给出奇偶差，联立即得各自和。

选项B的陷阱在于：学生可能机械地逐项计算系数，或者误以为n为偶数时中间项会破坏平衡。但命题人利用的是"任意正整数n"的绝对化表述——实际上n=0时(1-1)^0=1≠0，不过题目限定正整数已规避此边界。更阴险的是，若把题目改成"奇数项系数和是偶数项的2倍"，答案就反了，这正是命题人埋下的认知陷阱。

1. 考纲定位

本题考查《GESP 考试大纲》八级"算法与数据结构"模块中的组合数学基础。命题人卡住的是绝大多数考生只会死算组合数、不会用赋值法求系数和的弱点——这是竞赛中高频考点，但普通教学往往一带而过。

2. 解题思维

完整思考链：看到二项式系数和→联想二项式定理→考虑如何分离奇偶项→想到赋值技巧。关键观察是令a=1,b=-1时展开式变为0，这意味着所有系数交替相减抵消，即奇数项和减去偶数项和等于0。数值推演：n=1时系数为1,1，奇偶和均为1；n=2时1,2,1，奇偶和均为2；n=3时1,3,3,1，奇偶和均为4。通法是：对二项式系数和求值问题，用赋值法构造方程组，(1+1)^n=2^n给出总和，(1-1)^n=0给出奇偶差，联立即得各自和。