GESP 八级 · GESP202609 C++ 八级 第 1 题

用数字 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的三位数，且该三位数能被 3 整除，共有（ ）个。

先枚举所有和为3的倍数的3元子集，再对含0的子集排除首位为0的情况。

漏掉{3,4,5}、误用3!直接乘、忽略0不能作首位。

1. 考纲定位

本题考查的是组合数学中的子集枚举与整除规则的结合应用。命题人卡住的是"整除规则+排列计数"复合能力——多数考生只会背"能被3整除看各位数字和"，却卡在"如何快速枚举和为3的倍数的子集"以及"含0时排列数要减2!"这两个细节。

2. 解题思维

全集{0,1,2,3,4,5}和为15，任选3个不重复数字，其和必为3的倍数（15-3k仍为3的倍数）。

枚举所有3元子集：

• 和=3：{0,1,2} → 3!−2! = 4
• 和=6：{0,1,5},{0,2,4},{1,2,3} → 4+4+6 = 14
• 和=9：{0,4,5},{1,3,5},{2,3,4} → 4+6+6 = 16
• 和=12：{3,4,5} → 6

合计 4+14+16+6 = 40。