GESP 八级 · GESP 202509 C++ 八级 第 6 题

二项式 $ (x + y)^6 $ 的展开式中 $ x^2y^4 $ 项的系数是（ ）。

排列组合问题：先判断是否考虑顺序（排列P vs 组合C），再确定是否允许重复。乘法原理分步，加法原理分类。

审题时注意题目要求（选正确还是选错误），避免因审题不清失分。涉及代码的题目要逐行分析变量变化。

【考点】二项式定理｜组合数

命题人卡住的是"看到组合数就慌着算全展开"的惯性。GESP八级组合模块明确要求掌握二项式定理与组合数计算，此题就是用来筛掉只会背公式、不会精准定位项的选手。

看到题先想二项式通项 $C_n^k x^{n-k}y^k$，本题 $n=6$，$y$ 的指数是 $4$，所以 $k=4$，直接算 $C_6^4$。组合数公式 $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$，$C_6^4 = \frac{6!}{4!2!} = 15$，选 D。

A 720 是 $6!$，把全排列当成组合系数；B 120 是 $5!$，可能误看成 $C_6^5$；C 20 是 $C_6^3$，对应 $x^3y^3$ 项。命题人故意放这些，就是考你是否能准确匹配指数与组合数下标。最容易掉坑的是把 $y^4$ 当成 $y^3$，选错 C。

反命题视角：若题目改成求 $x^3y^3$ 的系数，答案就变成 20；若问所有系数和，则是 $2^6=64$。刷到同类题，先问自己"我要找的是哪一项的 $k$？"再代入公式。