GESP 八级 · GESP 202412 C++ 八级 第 7 题

二项式 $(x + y)^6$ 的展开式中 $x^3 y^3$ 项的系数是（ ）。

排列组合问题：先判断是否考虑顺序（排列P vs 组合C），再确定是否允许重复。乘法原理分步，加法原理分类。

审题时注意题目要求（选正确还是选错误），避免因审题不清失分。涉及代码的题目要逐行分析变量变化。

【考点】组合数｜二项式定理｜数学计算精度

考纲定位：本题考查《GESP 数学模块》八级第 3.2 节"组合与二项式"。命题人放这道题，卡住的是考生对组合数 C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)的机械记忆——八级之前只要求会算C(n,2)，这里突然跳到C(6,3)=20，直接筛掉只会背公式不会代入的选手。

解题思维：看到(x+y)^n展开式，第一反应必须是"组合数系数"。通法：x^{n-k}y^k的系数恒为C(n,k)。本题n=6,k=3，代入得C(6,3)=6×5×4/(3×2×1)=20。记住这个通法，以后遇到任何二项式展开系数问题，直接套用。

陷阱拆解：A项6是拿指数当系数，命题人专挑"指数与系数混淆"的初学者下手；B项15是误算C(6,2)=15，故意用相近数字诱导手算失误；D项120是6!，把阶乘当系数，完全不懂二项式结构。最阴险的是题干没写"系数"，只说"项的系数"，有些考生会犹豫要不要考虑符号，但这里x^3y^3系数恒正，属于偷换概念。

反命题思维：命题人若把二项式改成(x+y)^7，问x^3y^4系数，答案变C(7,3)=35；若改成(x+2y)^6，问x^3y^3系数，答案变C(6,3)×2^3=160。刷到类似题，先问自己："指数和系数的关系到底是什么？"而不是死算。