CSP-J 入门级 · CSP 2026 入门级第一轮 第 14 题

【单选】数轴上有 7 个点，坐标分别为 1、3、4、7、10、15、20。在数轴上选取一个整数坐标点 P，使 P 到这 7 个点的距离之和最小，这个最小距离和是（ ）。

数轴上一组点，到它们距离之和最小的点就是"中位数"位置。7 个点排序后取第 4 个（7），再把距离全部加起来。

误以为取"平均数"更优（平均值 60/7 ≈ 8.57，取 9 会得到 38，错选 D）；或把中位数取成第 3 个点（4）。

解析

本题考查绝对值距离之和的最小值（中位数性质）。

结论：最优位置是中位数

设 7 个点坐标 x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ x₇（本题已排序：1, 3, 4, 7, 10, 15, 20）。要最小化

f(P) = Σ|xᵢ − P|

可以配对看：|x₁ − P| + |x₇ − P| ≥ x₇ − x₁，等号当且仅当 P ∈ [x₁, x₇]；同理把 (x₂,x₆)、(x₃,x₅) 配对。 只要 P 落在中间那个点的位置 x₄ = 7 上，所有配对都能同时取到等号；此时

f(7) = (x₇ − x₁) + (x₆ − x₂) + (x₅ − x₃) + 0

代入计算

x₄ = 7 为最优位置 P：

合计：6 + 4 + 3 + 0 + 3 + 8 + 13 = 37，选 A。

为什么不是平均值

平均值 = (1+3+4+7+10+15+20)/7 = 60/7 ≈ 8.57，取整数 9：

合计 39 > 37。距离之和最小用中位数，平方距离之和最小才用平均值，这是必须分清的一对结论（本题选项 C = 40、D = 38 就是给"取错位置"的人准备的）。

其他选项为什么错

• D. 38：取 P = 8 或 9 等非中位数位置得到的值（如 P=8：7+5+4+1+2+7+12 = 38）；
• C. 40：取 P = 4 或 P = 10（分别为 3+1+0+3+6+11+16 = 40 与 9+7+6+3+0+5+10 = 40）；
• B. 42：端点或平均值位置附近的错误取值。

记忆点

• 奇数个点 → 取中间那个点（中位数）；偶数个点 → 区间内任意点都最优；
• 加权情形（每个点有权重 wᵢ）等价于"带权中位数"，即累积权重首次超过总权重一半的位置。