NOIP 提高组初赛 · NOIP 2017 提高组初赛试题 第 9 题

将 $7$ 个名额分给 $4$ 个不同的班级，允许有的班级没有名额，有（ ）种不 同的分配方案。

这题是经典的隔板法应用，核心是把7个相同名额看作7个球，4个班级看作4个盒子，允许空盒意味着我们得在球之间插3块板来划分区域，公式直接套C(n+m-1,m-1)就能秒杀。

很多同学看到名额相同、班级不同，容易下意识想到斯特林数或者认为必须每个班都有名额，结果去算S(7,4)或者用C(7,4)来分配，这都是方向错了。还有人会忘记‘允许空’这个条件，以为必须插3块板把7个球分成4份每份至少一个，那样只能算C(6,3)=20，漏掉了那些有班级没名额的情况。记住，允许空盒时，板子是可以插在球旁边的，相当于给每个球都多了一个‘空’的选择权，所以总数要变成n+m-1。

考点概念：隔板法（可空分配）

n 个相同物品分给 m 个不同盒子（可空）：C(n+m-1, m-1)。

命题视角：为什么考这个？

命题人爱在‘名额相同、班级不同、允许空’这个组合上挖坑，因为学生容易把‘名额相同’和‘必须非空’混淆，或者误用斯特林数。这道题就是典型陷阱：题目明确说‘允许有的班级没有名额’，但很多考生会下意识认为每个班至少一个，从而用C(6,3)算出20，或者用斯特林数S(7,4)算出1855，完全跑偏。命题人就是想考你：隔板法里‘可空’意味着板子可以插在球旁边，相当于给每个球都多了一个‘空’的选择权，所以总数要变成n+m-1。