NOIP 提高组初赛 · NOIP 2008 提高组初赛试题 第 22 题

书架上有 $21$ 本书，编号从 $1$ 到 $21$，从其中选 $4$ 本，其中每两本的编号都不相邻的选法一共有______种。

这题本质是求不相邻组合数，核心是把选中的4本书看作4个‘隔板’，剩下的17本作为‘空隙’，用隔板法直接套公式 C(n-k+1, k) 即可，千万别去枚举或画长图。

容易把不相邻条件理解成‘中间至少隔1本’就误用 C(n-k+1, k)，其实这正是隔板法的标准形式；另一种典型错误是忘记减去已选走的书，直接用 C(21, 4) 或 C(21-4, 4)，这样会多算大量相邻的情况，导致答案偏大。

不相邻组合

从21本书选4本，要求编号互不相邻。这类问题在竞赛里非常经典，命题人往往喜欢用‘隔板法’来考察你是否真正理解组合的构造方式，而不是死记硬背公式。

概念与视角： 想象一下，我们先从21本书里‘拿走’4本作为选中者，剩下的17本自然形成18个空隙（包括两端）。只要把这4本‘隔板’插进这18个空隙里，每个空隙最多放一本，就能保证任意两本选中者之间至少隔着一本未选的书——这就是‘不相邻’的几何意义。所以，选法数就是‘从18个空隙里选4个位置放隔板’的组合数。

思考心法： 拿到题先别急着算数，先想‘怎么构造’：选4本不相邻 → 等价于在18个空隙里选4个位置 → C(18, 4)。

计算过程： C(18, 4) = 18×17×16×15 / (4×3×2×1) = 3060。

避坑提醒： 最容易错的地方是把公式记混，比如写成 C(n-k+1, k) 时忘记 n=21, k=4，直接套成 C(21-4+1, 4) = C(18, 4) 是对的，但很多人会错误地用 C(21-4, 4) = C(17, 4) 或者直接用 C(21, 4)，前者少算了一侧空隙，后者完全忽略了不相邻条件。还有一种陷阱是以为‘不相邻’意味着中间至少隔2本，那就会用 C(n-2k+1, k)，这是典型的过度约束，会导致答案偏小。

考频与趋势： 排列组合基础在题库中已考过147题，覆盖8个级别，2023年高达19题、2024年40题、2025年43题，说明这类题型近年持续升温，命题人越来越喜欢用‘构造+计数’的方式挖坑。计数原理相关题目共36题，NOIP提高组初赛已考过4题，2023-2025年也明显增多。

预测： 基于近年高频趋势，未来几年仍会频繁出现‘不相邻组合’或‘至少隔k本’的变体，可能结合动态规划或容斥原理进一步考验建模能力。暂无足够依据预测具体年份或题目形式，但建议重点掌握隔板法的多种变形。