NOIP 提高组初赛 · NOIP 2016 提高组初赛试题 第 11 题

有 $7$ 个一模一样的苹果，放到 $3$ 个一样的盘子中，一共有（ ）种放法。

拿到题先别急着列数，一眼看出苹果盘子都相同，这就是整数拆分问题，把7拆成不超过3个正整数之和，按大小顺序枚举就能数清。

最容易把苹果当成有区别的，去套斯特林数或者排列组合公式，结果会多出很多重复方案；还有的会忽略空盘，只考虑非空拆分，少算那几种含0的情况；更有人会把盘子看成不同，导致把6+1和1+6当成两种，其实顺序不重要。

这道题考查的是整数拆分（partition）的基础概念，属于组合数学里最贴近生活的一类问题。命题人特别喜欢用“一模一样的苹果”和“一模一样的盘子”这种描述，就是为了把学生的思维从排列组合的惯性里拉出来，逼着他们识别出这是一个不计顺序、允许空盘的拆分问题。如果盘子不同，那就是把7个相同的苹果放进3个不同的盒子，答案是C(7+3-1,3-1)=36；如果苹果不同，那就是斯特林数S(7,3)=300；只有当两者都相同时，才回到整数拆分，答案只有8种。这种对比是初赛最爱挖的坑，学生往往看到数字就条件反射去套公式，结果错得很离谱。解题心法很简单：拿到题先确认对象是否可区分，再确认是否允许空，最后按大小顺序枚举拆分。对于7拆成不超过3个正整数，我们按最大加数从大到小列举：7；6+1；5+2；5+1+1；4+3；4+2+1；3+3+1；3+2+2。一共8种，对应选项B。这里的关键是“不计顺序”，所以6+1和1+6是同一种，必须按字典序或最大数递减来避免重复。另外，题目没说盘子不能空，所以像“7+0+0”这种其实不算，因为0不贡献正整数项，我们只统计正整数之和等于7且项数≤3的情况。常见错误里，有人会漏掉3+2+2这种，觉得两个2重复就不算，其实整数拆分里相同数值可以出现多次，只要项数不超过3就行；还有人会误以为必须每个盘子至少一个苹果，于是少算了5+1+1和4+2+1这两种，因为它们只有两个非零项。从考频数据看，排列组合基础在题库里共出现过147题，覆盖8个级别，逐年分布非常均匀，2024年和2025年分别考了40题和43题，说明这类基础概念依然是高频考点，命题人不会轻易放弃这种简单但易错的小题。未来预测方面，基于现有数据，整数拆分单独出题的概率仍然较高，尤其在初赛和GESP五级六级中，预计明年仍会保持每年1-2题的节奏；若趋势延续，2026年可能继续出现类似题目，但难度会略有提升，比如增加盘子数量或限制非空盘子数。总之，这道题的核心就是识别“相同对象+相同容器+允许空”的组合特征，然后老老实实枚举拆分，千万别被数字吓到去套复杂公式。