NOIP 提高组初赛 · NOIP 2010 提高组初赛试题 第 11 题

元素 $R_1,R_2,R_3,R_4,R_5$ 入栈的顺序为 $R_1,R_2,R_3,R_4,R_5$。如果第 $1$ 个出栈的是 $R_3$，那么第 $5$ 个出栈的可能是(   )。

拿到题先锁定栈底状态：R3 一出栈，R1 和 R2 就被压在栈底，R2 永远在 R1 上面。后面不管怎么折腾，R2 不可能跑到 R1 后面去，所以第 5 个出栈的绝对不可能是 R2，直接排除 B，剩下 A、C、D 逐个验证能否构造出合法序列。

最容易栽跟头的是以为 R2 能最后出，或者把入栈顺序搞混，觉得 R4、R5 入栈后 R1 还能被压在它们下面。其实栈是后进先出，R3 一出，R2 就在 R1 顶上，R2 必须比 R1 先出，这是铁律。另外有些同学会纠结 R4、R5 能不能在 R1 之前出，其实只要先让 R1 出，后面再进 R4、R5 就能让 R4 或 R5 最后出，完全合法。

考点：栈的后进先出（LIFO）特性，以及给定入栈顺序下所有合法出栈序列的构造。本题属于纯概念推理题，不需要复杂计算，核心是抓住“栈底元素相对顺序不变”这一铁律。

命题视角：命题人喜欢用“第 1 个出栈的是谁”来固定栈的状态，然后问“第 5 个出栈的可能是谁”。这种问法其实是在考你是否真正理解了栈的压入弹出过程，而不是死记硬背某个序列。挖坑点通常就在 R2 和 R1 的相对位置，以及后入栈元素能否“跳过”先入栈元素。

思考心法：拿到题先想“R3 一出栈，栈里还剩啥？”

• 入栈顺序是 R1,R2,R3,R4,R5。
• 要让 R3 第 1 个出栈，必须先把 R1、R2、R3 都压进去，然后弹出 R3。
• 此时栈内状态：R1 在最底，R2 在 R1 上面，栈顶是 R2。
• 关键点来了：R2 永远压在 R1 上面，除非 R2 先出，R1 才可能出。所以无论后面怎么操作，R2 都不可能比 R1 晚出。

接下来看第 5 个出栈的选项：

• R1：能不能最后出？可以。操作序列：R1,R2,R3,R4,R5 入栈 → 弹出 R3 → 弹出 R2 → 弹出 R1 → 弹出 R4 → 弹出 R5。这样 R1 就是第 5 个出栈的，合法。
• R2：前面已经论证，R2 在 R1 上面，必须先于 R1 出，所以 R2 不可能第 5 个出栈，直接排除。
• R4：能不能最后出？可以。操作序列：R1,R2,R3,R4,R5 入栈 → 弹出 R3 → 弹出 R2 → 弹出 R1 → 弹出 R5 → 弹出 R4。这样 R4 是第 5 个，合法。
• R5：能不能最后出？可以。操作序列：R1,R2,R3,R4,R5 入栈 → 弹出 R3 → 弹出 R2 → 弹出 R1 → 弹出 R4 → 弹出 R5。这样 R5 是第 5 个，合法。

避坑：别被“R4、R5 后入”迷惑，以为它们一定能最后出，其实只要先让 R1 出，后面再进 R4、R5，就能让 R4 或 R5 最后出。但 R2 不可能最后出，这是死穴。

考频与趋势：栈在题库中已考过 89 题，覆盖从 GESP 六级到 NOIP 提高组初赛等 8 个级别，是高频考点。按年份分布看，2024 年考了 25 题，2025 年考了 15 题，2026 年考了 9 题，呈现近年持续高发的趋势。在初赛阶段，栈通常以单选题形式出现，侧重考查基本概念和简单序列构造，难度适中。

预测：基于近年数据，栈在 NOIP 提高组初赛中的考查频次依然较高，且题目类型稳定在“给定入栈顺序，判断出栈序列合法性”或“构造特定位置的出栈元素”。未来可能继续增加类似本题的变式，例如增加更多元素或改变出栈位置要求，但核心仍是考察栈的 LIFO 特性和相对顺序不变性。暂无足够依据预测具体年份的题量变化，但建议持续重视栈的基本操作和序列构造。

综上，第 5 个出栈的可能选项为 A、C、D。