NOIP 提高组初赛 · NOIP 2008 提高组初赛试题 第 6 题

设栈 $S$ 的初始状态为空，元素 $a,b,c,d,e,f$ 依次入栈 $S$，出栈的序列为 $b,d,c,f,e,a$，则栈 $S$ 的容量至少应该是（ ）。

这题就是让你模拟入栈出栈过程，关键是盯着栈里同时存在的元素个数，而不是总入栈次数，找到过程中栈最‘鼓’的那一刻，那个数字就是答案。

最容易栽跟头的就是没分清‘栈容量’和‘入栈总数’的区别，直接把元素个数6当成答案选A；或者模拟时只记了入栈没记出栈，导致栈里元素越积越多，算出最大深度是6。其实每次出栈后栈都会变小，只要仔细按顺序一步步推，就能发现栈里最多同时只有3个元素，所以容量至少是3。

考点拆解：这道题考查的是栈（stack）的基本操作——入栈（push）和出栈（pop），以及通过模拟过程判断栈所需的最小容量。命题人很喜欢用这种‘给出一串入栈顺序和一串出栈顺序，问栈多大’的题目，因为它不考复杂算法，只考细心和逻辑推演，但一旦粗心就会选错，比如把总元素数6当成容量，或者算出最大深度是5、4之类的错误值。

概念再确认：栈是后进先出（LIFO）的结构，元素只能从栈顶进出。题目里说元素 a,b,c,d,e,f 依次入栈，这意味着入栈顺序是固定的：先 a，再 b，再 c……直到 f。而出栈顺序是 b,d,c,f,e,a，这个顺序必须由栈的 LIFO 特性决定，不能随意颠倒。

模拟过程（这是解题核心，必须一步步来）： 1. 初始栈为空。 2. a 入栈：栈内 [a]，大小 1。 3. b 入栈：栈内 [a,b]，大小 2。 4. 出栈 b：栈内 [a]，大小 1。 5. c 入栈：栈内 [a,c]，大小 2。 6. d 入栈：栈内 [a,c,d]，大小 3。 7. 出栈 d：栈内 [a,c]，大小 2。 8. 出栈 c：栈内 [a]，大小 1。 9. e 入栈：栈内 [a,e]，大小 2。 10. f 入栈：栈内 [a,e,f]，大小 3。 11. 出栈 f：栈内 [a,e]，大小 2。 12. 出栈 e：栈内 [a]，大小 1。 13. 出栈 a：栈内空，大小 0。

关键观察：在整个过程中，栈的最大深度（即栈内元素个数）出现在第 6 步（入栈 d 后）和第 10 步（入栈 f 后），都是 3。也就是说，无论怎么安排，栈里最多同时只能有 3 个元素。

避坑提醒：很多学生会误以为栈容量等于入栈的总元素数 6，或者在模拟时忘记每次出栈后栈会变小，导致算出最大深度是 6 或 5。其实只要严格按顺序操作，就会发现栈是‘进两步、退一步’的节奏，最大深度永远不超过 3。

考频与趋势：从题库数据看，栈这个知识点共考了 89 题，覆盖 8 个级别，2024 年单年考了 25 题，2025 年 15 题，2026 年 9 题，虽然近年热度有所下降，但仍是高频考点。分赛事看，GESP 六级考了 37 题，NOIP 提高组初赛 13 题，CSP 入门级 11 题，说明这个知识点在各级别都经常出现。

预测：鉴于栈在 GESP 六级中占比最高，且近年 NOIP 提高组初赛仍稳定考查，未来可能继续以‘给定入栈出栈顺序求最小容量’或‘给定容量判断某序列是否合法’的形式出现，难度不会太大，但会反复考察模拟能力。