NOIP 提高组初赛 · NOIP 2008 提高组初赛试题 第 28 题

（矩阵中的数字）有一个 $n\times n(1\leq n\leq 5000)$ 的矩阵 $a$，对于 $1\leq i<n, 1\leq j\leq n$，$a_{i,j} < a_{i + 1,j},a_{j,i} < a_{j,i+1}$。即矩阵中左右相邻的两个元素，右边的元素一定比左边的大。上下相邻的两个元素，下面的元素一定比上面的大。给定矩阵 $a$ 中的一个数字 $k$，找出 $k$ 所在的行列（注意：输入数据保证矩阵中的数各不相同）。

#include <iostream>
using namespace std;
int n,k,answerx,answery;
int a[5001][5001];
void FindKPosition()
{
	int i = n,j = n;
	while (j > 0)
	{
		if (a[n][j] < k) break;               
		j --;
	}
        ①        
	while (a[i][j] != k)
	{
		while (              ②              && i > 1) i --;
		while (              ③              && j <= n) j ++;
	}
	              ④             
	              ⑤             
}

int main()
{
	int i,j;
	cin >> n;
	for (i = 1;i <= n;i ++)
		for (j = 1;j <= n;j ++)
			cin >> a[i][j];
	cin >> k;
	FindKPosition();
	cout << answerx << " " << answery << endl;
     return 0;
}

这道题考的是有序矩阵查找，核心是双指针：从右下角出发，当前值太大就往上，太小就往右，直到找到目标。

最容易掉进的坑是第一步的补偿逻辑。很多学生看到 while 循环里 j 在递减，就以为直接接着用，忘了循环结束时 j 已经比目标列少了一，必须加回 1 才能正确定位。另外，在判断移动方向时，容易把大于号小于号写反，或者忘记边界条件 i>1 和 j<=n，导致数组越界或死循环。还有，最后输出行列时，题目要求先输出行再输出列，顺序搞反也是高频错误。

题目考查核心：在一个行和列都严格递增的矩阵中，给定一个数 k，找出它所在的行和列。这属于典型的有序矩阵查找问题，也是信息学竞赛中常考的双指针技巧应用场景。

概念与性质：题目给出的条件非常关键——矩阵中左右相邻的元素，右边的大于左边；上下相邻的元素，下边的大于上边。这意味着矩阵的每一行是递增的，每一列也是递增的。同时，题目保证矩阵中的数各不相同，这简化了逻辑，不需要处理重复值的情况。

命题人视角：命题人喜欢在这种看似简单的矩阵中挖坑。第一，他们会在起始位置的确定上设障，比如让你先往左找，但循环结束后位置不对，考验你是否细心。第二，移动方向的判断条件容易写反，或者漏掉边界检查（比如 i 不能小于 1，j 不能大于 n）。第三，输出顺序容易搞混，行和列的先后顺序必须严格对应题目要求。

思考心法：拿到这道题，首先要明确搜索策略。既然矩阵有序，我们不需要暴力遍历所有元素，那样时间复杂度是 O(n²)，对于 n=5000 显然会超时。我们需要一种能利用有序性的方法，把复杂度降到 O(n)。经典的思路是从右下角开始。为什么选右下角？因为从这里出发，无论往左走还是往上走，都能缩小搜索范围。如果当前元素比 k 大，说明 k 不可能在当前列的下方（因为下方更大），只能往上找；如果当前元素比 k 小，说明 k 不可能在当前行的左方（因为左方更小），只能往右找。这样每一步都能排除掉一行或一列，最多走 n 步就能找到。

算法推演与填空： 1. 第一阶段：确定起始列。代码从 i=n, j=n 开始，也就是右下角。然后进入一个 while 循环，条件是 j>0，循环体内判断 a[n][j] < k。如果最后一行的元素小于 k，说明 k 一定在这一列的下方或者更右边的列中，所以循环终止，j 停在第一个小于 k 的位置。但注意，循环结束后 j 已经比目标列少了一（因为循环是 j-- 直到条件满足），所以必须执行 ① j++ 来补偿，回到正确的那个列。这是第一个坑，很多同学会漏掉这一步，导致后续搜索从错误的位置开始。 2. 第二阶段：双指针搜索。现在 j 已经确定，i 还是 n。进入外层 while 循环，条件是 a[i][j] != k。只要没找到 k，就不断调整 i 和 j。调整逻辑是：如果当前元素太大（a[i][j] > k），说明 k 在上方，所以 i--；如果当前元素太小（a[i][j] < k），说明 k 在右方，所以 j++。这里要注意两个内层 while 循环的条件：往上走必须保证 i>1，往右走必须保证 j<=n，否则数组越界。所以 ② 填 a[i][j] > k，③ 填 a[i][j] < k。 3. 结束与输出。当外层循环退出时，说明 a[i][j] == k，找到了目标。此时需要把 i 和 j 分别赋给答案变量。题目要求输出行和列，所以先输出行，再输出列。因此 ④ 填 answerx = i，⑤ 填 answery = j。

避坑指南：

• 起始列补偿：这是最容易错的点。循环结束后 j 已经减过头了，必须加回来。如果你不加，整个搜索就会从错误的列开始，可能找不到答案或者死循环。
• 方向判断：大于 k 往上，小于 k 往右，千万别写反了。写反了逻辑就完全错了。
• 边界条件：i>1 和 j<=n 这两个条件不能少，否则数组越界会 RE（Runtime Error）。
• 输出顺序：题目明确要求先输出行再输出列，顺序错了也算错。

考频与趋势：

• 循环结构：这是基础中的基础，题库共考过 609 题，覆盖 12 个考试级别。从历年分布看，2008 年考了 7 题，2009-2012 年相对平稳，2013-2018 年每年都在 4-13 题之间波动，2023 年突然考了 77 题，2024 年更是高达 128 题，2025 年达到 158 题，2026 年预测也有 161 题。这说明循环结构是高频考点，而且近年来越来越重视对循环细节的考察。
• 二维数组与多维数组：共考过 29 题，覆盖 6 个级别。2008 年考了 1 题，之后几年零星出现，2023 年考了 1 题，2024 年考了 4 题，2025 年考了 5 题，2026 年预测有 9 题。虽然总量不如循环结构多，但近年来在竞赛中出现的频率在上升，尤其是 GESP 四级考了 20 题，NOIP 提高组初赛考了 2 题。
• 双指针：共考过 5 题，覆盖 3 个级别。2008 年考了 1 题，2013 年考了 1 题，2023-2025 年每年各考了 1 题。虽然总数不多，但 2008 年这道题就是双指针的经典应用，说明这类技巧在特定年份会作为重点考察。

预测：基于上述数据，循环结构在未来几年仍将是绝对的高频考点，尤其是 2026 年预测有 161 题，这可能与 CSP-J/S 或 GESP 级别的考试改革有关。二维数组的考频也在逐年上升，2026 年预测有 9 题，说明对多维数组的考察会越来越细致。双指针虽然考得少，但作为解决有序矩阵查找等问题的利器，未来可能会在更复杂的场景中出现，比如带权重的矩阵搜索或动态规划中的指针优化。暂无足够依据预测双指针在未来会有爆发式增长，但保持对这类技巧的敏感度是必要的。