NOIP 普及组初赛 · NOIP 2013 普及组初赛试题 第 4 题

逻辑表达式（）的值与变量 $A$ 的真假无关。

拿到这种‘与谁无关’的逻辑题，别急着硬算，先盯着选项里有没有能消掉那个变量的结构——像 A∨¬A 这种恒真/恒假对，或者能提取公因式后只剩一个变量的形式，往往就是答案。

学生最容易把注意力全放在 A 上，以为只要化简后还剩下 A 就有关，其实要看整体结果是否依赖 A。比如 D 选项化简后是 B，但里面确实有 A，容易误判为有关；还有把提取公因式写成 B∧(A∨¬A) 后忘记 A∨¬A 恒为真，直接当成 B∧A 或 B∧¬A，导致多算一层依赖。

这道题考的是逻辑代数中‘表达式与某变量无关’的判断。命题人喜欢挖的坑就是：表面上看表达式里明明有 A，但经过化简后 A 被消掉了，或者化简结果只依赖另一个变量。拿 C 选项看，(A∧B)∨(¬A∧B)，提取公因式 B，得到 B∧(A∨¬A)。A∨¬A 是逻辑恒真，所以整个式子就等于 B，显然与 A 的真假没关系。再看其他选项：A 化简成¬A∧B，结果依赖 A；B 化简成 A∧¬B，依赖 A；D 虽然化简后是 B，但中间过程有 A，学生容易误以为有关。所以正确答案是 C。考频上，逻辑代数在 NOIP 普及组初赛这类纯概念/计算单选题里每年都可能出现，过去几年从 2007 到 2026 共考了 47 题，其中 2024 年突然考了 9 题，2025 年更是 15 题，说明命题人最近特别喜欢考这类逻辑化简与无关性判断，未来几年大概率还会继续出类似题目，尤其是选择题里用‘与谁无关’来包装化简结果。解题心法就是：先找有没有 A∨¬A 或 A∧¬A 这种能消掉 A 的结构，再检查提取公因式后剩下的部分是否真的不含 A，别被表面形式骗了。