NOIP 普及组初赛 · NOIP 2010 普及组初赛试题 第 3 题

以下逻辑表达式的值恒为真的是（ ）。

这题考逻辑代数恒真式。别死算，看结构：A选项把¬P提出来，后面正好凑成(Q∨¬Q)，利用分配律和互补律直接消掉，秒杀。

最容易栽跟头的就是把P和¬P拆开看，觉得P取真时后面两项没用，P取假时前面没用，于是犹豫不定。其实逻辑运算里，只要有一项为真，整个析取式就为真，不需要每一项都真。另外，有些同学会机械地代入P=T, Q=T这种极端情况去验证，虽然没错，但遇到这种明显能化简的结构，代入法反而容易漏掉其他取值导致误判恒真性。

考点与命题视角

这题考查逻辑代数中的恒真式（Tautology）识别。命题人特别喜欢在选项里埋下“看似复杂、实则能大幅化简”的式子，尤其是利用分配律把¬P提出来，凑成互补对(Q∨¬Q)。这种设计就是为了区分只会机械代入、不会观察结构的考生。

逐个化简（只讲关键步骤）

A选项 P ∨ (¬P ∧ Q) ∨ (¬P ∧ ¬Q)

先把后两项提取公因子¬P（分配律）： = P ∨ [¬P ∧ (Q ∨ ¬Q)]

括号里 Q ∨ ¬Q 是互补律，恒为 T（真）： = P ∨ (¬P ∧ T)

T 是单位元，¬P ∧ T = ¬P： = P ∨ ¬P

再由互补律，P ∨ ¬P = T。 所以 A 恒真。

B选项 Q ∨ (¬P ∧ Q) ∨ (P ∧ ¬Q)

先合并前两项（提取 Q）： = Q ∨ (P ∧ ¬Q)

代入 P=F, Q=F： F ∨ (F ∧ T) = F ∨ F = F B 不恒真。

C选项 P ∨ Q ∨ (P ∧ ¬Q) ∨ (¬P ∧ Q)

代入 P=F, Q=F： F ∨ F ∨ (F ∧ T) ∨ (T ∧ F) = F C 不恒真。

D选项 P ∨ ¬Q ∨ (P ∧ ¬Q) ∨ (¬P ∧ ¬Q)

代入 P=F, Q=T： F ∨ F ∨ (F ∧ F) ∨ (T ∧ F) = F D 不恒真。