GESP 八级 · GESP 202512 C++ 八级 第 1 题

某平台生成“取件码”由 $6$ 个字符组成：前 $4$ 位为数字（$0-9$），后 $2$ 位为大写字母（$A-Z$），其中字母不能为 $I$、$O$。假设数字和字母均可重复使用，要求整个取件码中恰好有 $2$ 个数字为奇数。共有多少种不同取件码？（ ）

排列组合问题：先判断是否考虑顺序（排列P vs 组合C），再确定是否允许重复。乘法原理分步，加法原理分类。

区分排列（考虑顺序，$P(n,m)$）和组合（不考虑顺序，$C(n,m)$）。注意特殊元素优先处理、正难则反等计数技巧。

【考点】计数原理｜排列组合｜条件计数

1. 🎯 考纲定位 GESP八级组合数学模块，专门卡住条件计数这个薄弱点——多数考生只会分类讨论，不会用乘法原理合并。

2. 🧠 解题思维 先算字母：24×24（A-Z去I/O）。再算数字：C(4,2)×5²×5²（选2奇位，奇数5选1，偶数5选1）。为什么奇数只有5种？因为1,3,5,7,9。偶数也是5种（0,2,4,6,8）。C(4,2)是从4个数字位里选2个放奇数，剩下2个自动放偶数。用乘法原理把字母和数字的计数合并。最后相乘：24²×6×25×25=2,160,000。

3. 🪤 陷阱拆解 A错在把"恰好2奇"当成3奇（1,440,000=24²×6×5³，意味着假设了3个奇数，但题目要求恰好2个，所以多算了）；C把4奇当2奇（2,535,000=24²×6×5⁴）；D是总计数（8,640,000=24²×6×5⁵）。绝对化表述"恰好"最阴险，偷换条件把"2个奇数"当成"3个或更多"，边界条件"数字可重复"常被误以为不可重复。

4. 🔄 反命题思维 改"恰好2个奇数"为"至少2个奇数"，答案会变大；若允许I/O，字母部分要乘26²。刷到类似题时，先问"命题人想卡我哪条边界"。审题时注意"恰好"和"可重复"这两个关键词。