NOIP 普及组初赛 · NOIP 2008 普及组初赛试题 第 21 题

书架上有 $4$ 本不同的书 A、B、C、D。其中 A 和 B 是红皮的，C 和 D 是黑皮的。把这 $4$ 本书摆在书架上，满足所有黑皮的书都排在一起的摆法有_____种。满足 A 必须比 C 靠左，所有红皮的书要摆放在一起，所有黑皮的书要摆放在一起，共有______种摆法。

这题考排列组合里的捆绑法与相对位置约束。拿到题先别急着算，把‘黑皮在一起’‘红皮在一起’‘A在C左’这些条件翻译成整体单元或固定顺序，再分步相乘。

最容易掉进两个坑：一是把‘黑皮在一起’当成只排CD，忘了CD内部还能互换，导致少乘2；二是处理‘红皮在一起且A在C左’时，误以为红组内A、B可以任意排，或者黑组内C、D可以任意排，没意识到A必须在C左边会强制红组整体排黑组前面，且红组内A左B右、黑组内C左D右都是唯一解，多算排列会直接翻倍。

排列计数

(1) 黑皮书排一起 题目要求所有黑皮书（C和D）必须相邻。用捆绑法：把C和D看作一个整体单元[CD]。此时书架上相当于有3个‘东西’：书A、书B、整体[CD]。

先排这3个东西：全排列是 $3! = 6$ 种。

再看整体内部：C和D虽然是黑皮，但它们是不同的书，所以在[CD]这个单元内部，C和D可以交换位置，有 $2! = 2$ 种排法。

根据乘法原理，总摆法是 $6 \times 2 = 12$ 种。

(2) 红一起+黑一起+A在C左 条件有三：红皮（A、B）在一起，黑皮（C、D）在一起，且A必须在C的左边。

先处理‘在一起’：红皮捆绑成[AB]，黑皮捆绑成[CD]。现在只有这两个大单元。

再处理‘A在C左’：因为A是红组的一部分，C是黑组的一部分，要让A在C左边，唯一的办法就是把整个红组[AB]排在黑组[CD]的前面。如果红组在黑组后面，A肯定在C右边，不满足条件。所以这两个大单元的排列只有1种：[AB]在前，[CD]在后。

最后看组内顺序：

• 红组[AB]内，A必须比B靠左吗？题目只说了‘红皮在一起’，没强制A比B左。但等等，题目只给了‘A比C左’这个跨组约束。红组内部A和B谁左谁右？其实只要红组整体在黑组前面，A自然就在C前面了。那红组内部A、B可以互换吗？

仔细读题：‘满足A必须比C靠左’是全局约束，红组内部没有额外要求。但红组是‘A和B是红皮’，题目没说红皮内部顺序。然而，我们再看黑组：‘C和D是黑皮’，同样没说内部顺序。但A在C左这个条件，结合红组在前、黑组在后，已经自动满足。那红组内部A、B是否可换？ 实际上，题目隐含‘红皮在一起’通常指它们作为一个整体，但内部顺序未定。然而，A在C左只约束了跨组位置，红组内部A、B可以互换吗？ 等等，重新审视：A在C左，只要红组在黑组前，A就一定在C左。红组内A、B互换不影响A在C左。黑组内C、D互换也不影响A在C左。那为什么答案是4而不是8？ 哦！我漏了关键点：题目说‘所有红皮的书要摆放在一起，所有黑皮的书要摆放在一起’，并且‘A必须比C靠左’。但没有说B和D的位置。然而，A在C左已经由红组在前保证。那红组内A、B谁左谁右？其实A在C左只要求A的位置小于C的位置。如果红组内A在右、B在左，只要红组整体在黑组前，A的位置依然小于C的位置（因为C是黑组第一个）。所以红组内A、B可以互换？ 不对，再想：A在C左是严格位置比较。假设红组在前，黑组在后。红组内A、B顺序有两种：A左B右，或B左A右。两种情况下，A的位置都小于C的位置吗？ 是的，因为红组整体在前，A的位置必然小于C的位置，无论红组内A、B怎么排。那为什么答案是4？ 啊！我明白了：题目中的‘A必须比C靠左’其实是一个很强的约束，它迫使红组整体必须在黑组前面，而且红组内A必须在最左，黑组内C必须在最左。因为如果红组内B在A左边，A还是比C左，没问题；但如果黑组内D在C左边，C还是比A右，也没问题。所以内部顺序不影响跨组约束。 但等等，答案给的是4，不是8。说明内部顺序是固定的。为什么？ 重新读题：‘满足A必须比C靠左，所有红皮的书要摆放在一起，所有黑皮的书要摆放在一起’。没有说红皮内部或黑皮内部顺序。但A在C左只约束了跨组。那红组内A、B可以互换，黑组内C、D可以互换，应该是2×2=4种？不对，红组在前是1种，红组内2种，黑组内2种，共4种。对！刚才我算错了，红组内A、B互换是2种，黑组内C、D互换是2种，红组在前是1种，所以是2×2=4种。之前我以为红组内A、B必须A左，其实不是，只要红组在前，A自然在C左，红组内A、B可以互换。黑组内C、D也可以互换。所以是4种。

因此，总摆法是 $1 \times 2 \times 2 = 4$ 种。

答案：12, 4