GESP 八级 · GESP 202312 C++ 八级 第 5 题

$5$ 位同学排队，其中一位同学不能排在第一，则共有多少种可能的排队方式？（ ）。

先算5人全排列总数，再减去那位同学固定在第一位的非法情况，用减法排除更稳妥。

容易把题目看成只有5种可能，或者只算出24却误以为这就是答案，其实24是‘必须排第一’的情况；还有人直接忽略限制条件算出120。核心是理解‘不能排第一’意味着要排除掉那位同学占据首位的所有排列。

【考点】排列组合｜容斥思想｜基础运算

这道题在《GESP 八级考纲》“排列与组合”模块，属于最基础的计数问题。命题人放这道题，就是卡住那些“一看到排队就只会背 n! 公式、却不懂如何结合限制条件”的考生——八级不考高深技巧，考的就是把条件翻译进数学的正确率。

解题思维用“总数 − 排除”最稳妥。5 个不同元素全排列是 5! = 120；让那位“不能排第一”的同学固定在第一位，剩下 4 人任意排就是 4! = 24。符合要求的排队方式 = 120 − 24 = 96。

陷阱拆解：A 项 5 是把“5 位同学”误解成“只有 5 种可能”，完全没做乘法原理；B 项 24 只算了“那位同学排第一”的 4!，却忘了要减去而不是直接当答案——这是命题人最爱给的“一半对一半错”的陷阱；D 项 120 忽略了“不能排第一”这个条件，直接用 5!，相当于把题目当无限制排列来算。

反命题思维：如果把条件改成“那位同学必须排在第一”，答案就是 24；改成“那位同学不能排在第一或第二”，就要减去 2 个位置各 4!，得 120 − 48 = 72。刷到这类题先问自己：命题人是在考“乘法原理”还是“减法排除”？别一看到 5 个人就下意识算 5!。

考频与趋势：组合数学在题库共 110 题，GESP 八级占 58 题，2023 年 16 题、2024 年 35 题、2025 年 38 题、2026 年 12 题；排列组合基础在题库共 147 题，GESP 八级同样 58 题，2023 年 19 题、2024 年 40 题、2025 年 43 题、2026 年 12 题。这类“带限制的全排列”在八级出现频率高，且近年题量持续上升。

预测：暂无足够依据预测未来具体形式，但可预期仍会围绕“某元素不能/必须放在某位置”的简单减法或乘法组合考察。